Bifurkationen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>{{\lambda }_{1}}>0</math> | <math>{{\lambda }_{1}}>0</math> und <math>{{\lambda }_{2}}<0</math> | ||
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für | für | ||
<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math> | <math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math> |
Version vom 12. September 2010, 17:03 Uhr
Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Bifurkationen | Dynamische Systeme und deterministisches Chaos | |
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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.
Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).
Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !
Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.
Klassifizierung einfachster Bifurkationen:
Eigenwert- Null - Bifurkation
stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für
)
detA>0 -> detA<0
A1) Sattel- Knoten- Bifurkation
einfachster Fall:
Fixpunkte existieren also nur für
Somit existieren:
und
für
A2) Transkritische Bifurkation
Stabilitätswechsel bei µc=0
A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)
superkritisch:
für
zwei Fixpunkte, sonst einer
zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0
subkritisch
mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0
Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:
- Hopf- Bifurkation
stabiler Fokus
instabiler Fokus mit Grenzzyklus
mit:
stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus
Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus
sei n=2:
tr A < 0 ( stabiler Fokus)
tr A > 0 ( instabiler Fokus)
( Voraussetzung: det A >0 )
mindestens n=2 nötig !