Bifurkationen: Unterschied zwischen den Versionen
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*>SchuBot K Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → ( (6) |
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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann. | Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann. | ||
Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit). | Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ("Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit). | ||
Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität ! | Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität! | ||
Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden. | Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden. | ||
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stabiler Fixpunkt ( Knoten) → instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für | stabiler Fixpunkt (Knoten) → instabilen Fixpunkt (Sattelpunkt für | ||
:<math>n\ge 2</math> | :<math>n\ge 2</math>) | ||
detA>0 → detA<0 | detA>0 → detA<0 | ||
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:<math>x*=\pm i\sqrt{|\mu |},0</math> | :<math>x*=\pm i\sqrt{|\mu |},0</math> | ||
mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0 | mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0 | ||
Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0: | Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0: | ||
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sei n=2: | sei n=2: | ||
tr A < 0 ( stabiler Fokus) | tr A < 0 (stabiler Fokus) | ||
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tr A > 0 ( instabiler Fokus) | tr A > 0 (instabiler Fokus) | ||
( Voraussetzung: det A >0 ) | (Voraussetzung: det A >0) | ||
mindestens n=2 nötig ! | mindestens n=2 nötig! |
Version vom 13. September 2010, 00:24 Uhr
Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Bifurkationen | Dynamische Systeme und deterministisches Chaos | |
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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.
Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ("Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).
Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität!
Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.
Klassifizierung einfachster Bifurkationen:
Eigenwert- Null - Bifurkation
stabiler Fixpunkt (Knoten) → instabilen Fixpunkt (Sattelpunkt für
- )
detA>0 → detA<0
A1) Sattel- Knoten- Bifurkation
einfachster Fall:
Fixpunkte existieren also nur für
Somit existieren:
- und
für
A2) Transkritische Bifurkation
Stabilitätswechsel bei µc=0
A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)
superkritisch:
für
zwei Fixpunkte, sonst einer
zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0
subkritisch
mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0
Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:
- Hopf- Bifurkation
stabiler Fokus
instabiler Fokus mit Grenzzyklus
mit:
stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus
Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus
sei n=2:
tr A < 0 (stabiler Fokus)
tr A > 0 (instabiler Fokus)
(Voraussetzung: det A >0)
mindestens n=2 nötig!