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| ====A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)====
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| '''superkritisch:'''
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| :<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{3}}</math>
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| :<math>x*=\pm \sqrt{\mu },0</math>
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| für
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| :<math>\mu \ge 0</math>
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| zwei Fixpunkte, sonst einer
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| :<math>\begin{align}
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| & \delta \dot{x}=\left( \mu -3x{{*}^{2}} \right)\delta x \\
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| & \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}
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| \mu \\
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| -2\mu \\
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| \end{matrix} \right. \\
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| \end{align}</math>
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| zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0
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| '''subkritisch'''
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| :<math>\dot{x}=\mu x+{{x}^{3}}</math>
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| :<math>x*=\pm i\sqrt{|\mu |},0</math>
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| mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0
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| Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:
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| # Hopf- Bifurkation
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| stabiler Fokus
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| :<math>\to </math>
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| instabiler Fokus mit Grenzzyklus
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| :<math>{{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega </math>
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| mit:
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| :<math>{{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0</math>
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| stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus
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| Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus
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| sei n=2:
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| tr A < 0 (stabiler Fokus)
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| :<math>\to </math>
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| tr A > 0 (instabiler Fokus)
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| (Voraussetzung: det A >0)
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| mindestens n=2 nötig!
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Version vom 1. Juli 2011, 11:03 Uhr
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.
Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ("Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).
Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität!
Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.
Klassifizierung einfachster Bifurkationen:
Eigenwert- Null - Bifurkation
stabiler Fixpunkt (Knoten) → instabilen Fixpunkt (Sattelpunkt für
- )
detA>0 → detA<0
A1) Sattel- Knoten- Bifurkation
einfachster Fall:
Fixpunkte existieren also nur für
Somit existieren:
- und
für
A2) Transkritische Bifurkation
Stabilitätswechsel bei µc=0
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