Bifurkationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Bifurkationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Bifurkationen	Dynamische Systeme und deterministisches Chaos
	Vektorfelder als dynamische Systeme Stabilität und Langzeitverhalten Bifurkationen Deterministisches Chaos	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Eigenwert- Null - Bifurkation

$\lambda <0\to \lambda >0$

stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für $n\geq 2$ )

detA>0 -> detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

${\dot {x}}=\mu -{{x}^{2}}$

$x*=\pm {\sqrt {\mu }}$

Fixpunkte existieren also nur für

$\mu \geq 0$

$\delta {\dot {x}}=-2x*\delta x$

Somit existieren:

${{\lambda }_{1}}>0$

und

${{\lambda }_{2}}<0$

für

$x*=\pm {\sqrt {\mu }}$

A2) Transkritische Bifurkation

${\dot {x}}=\mu x-{{x}^{2}}$

$x*=\mu ,0$

${\begin{aligned}&\delta {\dot {x}}=\left(\mu -2x*\right)\delta x\\&\Rightarrow \lambda =\left\{{\begin{matrix}\mu \\-\mu \\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

${\dot {x}}=\mu x-{{x}^{3}}$

$x*=\pm {\sqrt {\mu }},0$

für

$\mu \geq 0$ zwei Fixpunkte, sonst einer

${\begin{aligned}&\delta {\dot {x}}=\left(\mu -3x{{*}^{2}}\right)\delta x\\&\Rightarrow \lambda =\left\{{\begin{matrix}\mu \\-2\mu \\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

${\dot {x}}=\mu x+{{x}^{3}}$

$x*=\pm i{\sqrt {|\mu |}},0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

1. Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus $\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

${{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega$

 mit:

${{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 ( stabiler Fokus) $\to$

 tr A > 0 ( instabiler Fokus)

( Voraussetzung: det A >0 )

mindestens n=2 nötig !

Deterministisches Chaos

Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit $n\geq 3$

( autonom):

Seltsamer ( chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus ${{T}^{d}}$

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension

$f{\tilde {\ }}{{10}^{24}}$

Autokorrelationsfunktion $\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle :={\begin{matrix}\lim \\T\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }$

periodisch in $\tau$

$\to 0$

für

$\tau \to \infty$

$=0$

für

$\tau >{{\tau }_{c}}$

Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):

$S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }$

diskrete Frequenzen ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...$ b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer $\varepsilon$

- Röhre um

$\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich

Ljapunov- stabil

Für DASSELBE t gilt: $\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|\to 0$

für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve $\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

${\begin{aligned}&\delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{}{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t)\delta {{x}_{k}}\\&{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t):={{A}_{ik}}(t)\\\end{aligned}}$

Dabei:

${{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)$

Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren

${{\bar {\xi }}^{(k)}}(t)$

Formale Lösung:

$\delta {\bar {x}}(t)={{e}^{\int _{0}^{t}{dt{\acute {\ }}A(t{\acute {\ }})}}}\delta {\bar {x}}(0)$

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um ${{\bar {x}}_{0}}$ , also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen ${{p}_{k}}(t){\tilde {\ }}{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}$

Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten ${{\bar {\lambda }}_{k}}:={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln {\frac {{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}}$

Nebenbemerkung: Sei $\lambda$ der führende ( größte) Ljapunov- Exponent

$\lambda :={\begin{matrix}\lim \ \sup \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln \left|{\bar {x}}(t)-{\bar {y}}(t)\right|$

$\Rightarrow$

$\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|{\tilde {\ }}{{e}^{\lambda t}}$

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit ${{e}^{\lambda t}}$ .

Für $\lambda$ <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

$\lambda$ >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im ${{R}^{3}}$ gilt:

Auf dem Attraktor: ${{\bar {\lambda }}_{1}}>0$ auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

${{\bar {\lambda }}_{2}}=0$

Bifurkationspunkte

${{\bar {\lambda }}_{3}}<0$

Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: