Generalisierte Koordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}}</noinclude> | ||
Zeile 18: | Zeile 17: | ||
<u>'''Ziel:'''</u> | <u>'''Ziel:'''</u> | ||
Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: | *Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> | ||
*Anschließend können Bewegungsgleichungen für die <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden. | |||
<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> | |||
Anschließend können Bewegungsgleichungen für die | |||
<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> | |||
aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden. | |||
Wesentlich: Die | Wesentlich: Die | ||
Zeile 36: | Zeile 28: | ||
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt. | sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt. | ||
{{Beispiel|'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:''' | |||
Zeile 56: | Zeile 48: | ||
<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} | <math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} , f=2</math> | ||
, f=2 | }} | ||
{{Beispiel|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:''' | |||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Zeile 68: | Zeile 57: | ||
& f=1 \\ | & f=1 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
}} | |||
'''Virtuelle Verrückungen''' | '''Virtuelle Verrückungen''' | ||
Zeile 94: | Zeile 83: | ||
Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden: | Mit diesen Gleichung kann die {{FB|Virtuelle Arbeit}} der eingeprägten Kräfte gewonnen werden: | ||
Zeile 106: | Zeile 95: | ||
Sind die eingeprägten Kräfte konservativ: | Sind die eingeprägten Kräfte '''konservativ''': | ||
Zeile 118: | Zeile 107: | ||
Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte ! | Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte ! |
Version vom 28. August 2010, 16:47 Uhr
Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Generalisierte Koordinaten | ||
---|---|---|
Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen
gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
Somit können die Punktkoordinaten
nicht unabhängig voneinander variiert werden.
Ziel:
- Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:
- Anschließend können Bewegungsgleichungen für die aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.
Wesentlich: Die sind FREI variierbar ! Wegen
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.
Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:
Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
|
Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:
|
Virtuelle Verrückungen
müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:
wird ausgedrückt durch
Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:
Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:
Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:
Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:
Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:
So folgt:
Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !