Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Wir starten von

$i{{\partial }_{t}}\Psi =\left({\underline {a}}.{\underline {\hat {p}}}+\beta m\right)\Psi$

(1.45)

• 1. Kontinuitätsgleichung mit ${{\Psi }^{+}}$(1.45) und (1.45)+$\Psi$

${\begin{aligned}&{\mathfrak {i}}{{\Psi }^{+}}{\dot {\Psi }}\quad ={{\Psi }^{+}}\left({\underline {\alpha }}.{\hat {\underline {p}}}+\beta m\right)\Psi \\&-{\mathfrak {i}}{{\dot {\Psi }}^{+}}\Psi \quad ={{\left({\underline {p}}\Psi \right)}^{+}}{\underline {\alpha }}\Psi +m{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\&------------------------\\&{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\underbrace {\left({{\Psi }^{+}}\Psi \right)} _{:=\rho }\quad ={{\Psi }^{+}}{\underline {\alpha }}\left({\underline {p}}\Psi \right)-{{\left({\underline {p}}\Psi \right)}^{+}}{\underline {\alpha }}\Psi \\&\quad =-{\mathfrak {i}}\sum \limits _{k}{{{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\left({{\partial }_{k}}\Psi \right)-{{\left({{\partial }_{k}}\Psi \right)}^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi }\\&\quad =-{\mathfrak {i}}\sum \limits _{k}{{{\partial }_{k}}\underbrace {\left({{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi \right)} _{:={{j}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j_k.

${\begin{aligned}&\rho :={{\Psi }^{+}}\Psi =\sum \limits _{k=1}^{4}{\Psi _{k}^{*}{{\Psi }_{k}}}\\&{\underline {j}}={{\Psi }^{+}}{\underline {\alpha }}\Psi \\\end{aligned}}$

(1.46)

(Kontinuitätsgleichung) $\Rightarrow {{\partial }_{t}}\rho +{\underline {\nabla }}{\underline {j}}=0$

(1.47)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors $\Psi$ zusammen.

• 1. Lorentz-Invarianz

Umdefinieren der Matrizen ${{\underline {\underline {\alpha }}}_{k}},{\underline {\underline {\beta }}}$als

${{\gamma }^{0}}:=\beta =\left({\begin{matrix}{\underline {\underline {1}}}&{\underline {\underline {0}}}\\{\underline {\underline {0}}}&-{\underline {\underline {1}}}\\\end{matrix}}\right)\quad ;\quad {{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}=\left({\begin{matrix}0&{{\sigma }_{k}}\\-{{\sigma }_{k}}&0\\\end{matrix}}\right)$

(1.48)

${\begin{aligned}&{{\left({{\gamma }^{0}}\right)}^{+}}={{\gamma }^{0}},{{\left({{\gamma }^{0}}\right)}^{2}}=1\\&{{\left({{\gamma }^{k}}\right)}^{+}}=-{{\gamma }^{k}},{{\left({{\gamma }^{k}}\right)}^{2}}=-1\quad k\in \left\{1,2,3\right\}\\&{{\gamma }^{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}+{{\gamma }^{\nu }}{{\gamma }^{\mu }}=2{{g}^{\mu }}^{\nu },\quad {{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left(1,-1,-1,-1\right)\\\end{aligned}}$

(1.49)

(z.B. ${{\gamma }^{k}}{{\gamma }^{j}}+{{\gamma }^{j}}{{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}\beta {{\alpha }_{j}}+\beta {{\alpha }_{j}}\beta {{\alpha }_{k}}\underbrace {=} _{1.32}-{{\alpha }_{k}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{j}}-{{\alpha }_{j}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{k}}=-2{{\delta }_{jk}}$)

Relativistische Notation:

kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben

${{x}^{\mu }}\leftrightarrow \left({{x}^{0}},{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}}\right):=\left(ct,x,y,z\right)=\left(ct,{\underline {x}}\right)$

(1.50)

kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)

${{x}_{\mu }}=\left({{x}_{0}},{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\right):=\left(ct,-x,-y,-z\right)=\left(ct,-{\underline {x}}\right)$

(1.51)

• Das relativistische Skalarprodukt

${{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}=\sum \limits _{\mu =0}^{4}{{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}={{c}^{2}}{{t}^{2}}-{{\underline {x}}^{2}}}$

(1.52)

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

• Metrischer Tensor
• ${{g}_{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left(1,-1,-1,-1\right)$
• in der SRT der selbe überall
• Hoch und Runterziehen${{x}_{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}\quad {{x}^{\mu }}={{g}^{\mu }}^{\nu }{{x}_{\nu }}$
• Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)

${\begin{aligned}&ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\\&x'=-\beta \gamma ct+\gamma x\\\end{aligned}}$

allgemein $x{{'}_{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}$

(1.53)

hier mit ${{L}^{\mu }}_{\nu }=\left({\begin{matrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$.

---

• Invarianz von ${{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}$unter Lorentz-Transformationen:

$x{{'}_{\mu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }x{{'}^{\nu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{L}^{\nu }}_{\alpha }{{x}^{\alpha }}{{L}^{\mu }}_{\beta }{{x}^{\beta }}={{g}_{\alpha }}_{\beta }{{x}^{\alpha }}{{x}^{\beta }}={{x}_{\beta }}{{x}^{\beta }}$

(1.54)

Für Vierervektoren${{a}^{\mu }}$, die sich wie der Koordinatenvektor ${{x}^{\mu }}$ bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist ${{a}_{\mu }}{{a}^{\mu }}$Lorentz-invariant.

GradientVierergradient (etc)

${\begin{aligned}&{{\partial }^{\nu }}={\frac {\partial }{\partial {{x}_{\nu }}}}\quad {\text{kontravarianter Vierergradient}}\\&{{\partial }_{\nu }}={\frac {\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}}\quad {\text{kovarianter Vierergradient}}\\\end{aligned}}$

(1.55)

Die Dirac-Gleichung folgt aus

${\begin{aligned}&\left({\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}-{\underline {\alpha }}{\frac {1}{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}-\beta m\right)\Psi =0\quad |\centerdot \beta \\&\left({\mathfrak {i}}{{\gamma }^{0}}\underbrace {{\partial }_{t}} _{{\partial }_{0}}+{\frac {1}{\mathfrak {i}}}\sum \limits _{k=1}^{3}{{{\gamma }^{k}}\underbrace {{\partial }_{{x}^{k}}} _{{\partial }_{k}}}\right)\Psi =0\\\end{aligned}}$

Dirac-Gleichung $\left({\mathfrak {i}}{{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m\right)\Psi =0$

(1.56)

• Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen

Es muss also gelten

$\left({\mathfrak {i}}{{\gamma }^{\nu }}{{\partial }_{\nu }}-m\right)\Psi =0\ \left({\text{in S}}\right)\quad \left({\mathfrak {i}}\gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m'\right)\Psi '=0\ \left({\text{in S }}\!\!'\!\!{\text{ }}\right)$

(1.57)

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)

Lorentz-Transformation

Koordinaten $x{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}$

Ableitung

$\partial {{'}_{\mu }}={\frac {\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}}={\frac {\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}}={{\left({{L}^{-1}}\right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}$

Wellenfunktion (4er Spinor) $\Psi '\left(x'\right)=\underbrace {S} _{\in {{M}^{4x4}}}\Psi \left(x\right)$

Ruhemasse ist dieselbe $m'=m$

Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung

$\gamma {{'}^{\nu }}={{\gamma }^{\nu }}$

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Also muss gelten

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$\left({\mathfrak {i}}\gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m'\right)\Psi '=0\Rightarrow \left({\mathfrak {i}}{{\gamma }^{\nu }}{{\left({{L}^{-1}}\right)}^{\mu }}_{\nu }{{\partial }_{\mu }}-m\right)S\Psi =0$

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Multiplikation von S^-1 von links

Vergleich mit (1.57) ${{\left({{L}^{-1}}\right)}^{\mu }}_{\nu }{{S}^{-1}}{{\gamma }^{\nu }}S={{\gamma }^{\mu }}$

$\Rightarrow {{S}^{-1}}{{\gamma }^{\alpha }}S={{L}^{\alpha }}_{\mu }{{\gamma }^{\mu }}$

(1.58)

Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.

• Konstriktion der Matrix S: Für kleine $\beta :={\frac {v}{c}}\ll 1$

$S\left(\beta \right)={\underline {\underline {1}}}+{\frac {\beta }{2}}{{\gamma }^{1}}{{\gamma }^{0}}+O\left({{\beta }^{2}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)+{\frac {\beta }{2}}\left({\begin{matrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\\end{matrix}}\right)+O\left({{\beta }^{2}}\right)$

(1.59)

Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)

$\left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m\right)\underbrace {\left({{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m\right)\left({\begin{aligned}&0\\&0\\&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)} _{{\tilde {\phi }}_{-}}=0$ ${\begin{aligned}&-{{\tilde {\phi }}_{-}}=-\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{x}}\left({\begin{matrix}0&{{\sigma }_{x}}\\-{{\sigma }_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{y}}...\\&=-\left({\begin{aligned}&{\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\&\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{aligned}}\right)\end{aligned}}$

(1.60)

Berechnung (AUFGABE) ergibt

$S\left(\beta \right)=\cosh {\frac {\beta }{2}}+\sinh \left({\frac {\beta }{2}}\right){{\underline {\underline {\gamma }}}^{1}}{{\underline {\underline {\gamma }}}^{0}}$

(1.61)

• Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)

(ViererstromdichteViererstromdichte) ${{j}^{\mu }}={{\Psi }^{+}}{{\gamma }^{0}}{{\gamma }^{\mu }}\Psi$

(1.62)

(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung) ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

(1.63)

Lorentz-Invarianz von ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}$:  zeige $\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=0$ wobei

$\partial {{'}_{\mu }}={\frac {\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}}={\frac {\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}}={{\left({{L}^{-1}}\right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}$

(1.64)

(1.65)

{{{3}}}

$\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=\underbrace {{{\left({{L}^{-1}}\right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}{{L}^{\mu }}_{\alpha }} _{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}={{\partial }_{\nu }}{{j}^{\nu }}=0$

 Lorentz-Invarianz von

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}$