Der Artikel Zwangsbedingungen und Zwangskräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch
Holonome (integrable) Zwangsbedingungen
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung gilt:
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt dann
Beispiel:Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt
N!
Hinzukommende Einschränkungen!
Zwangsbedingungen ()!
Freiheitsgrade
style="background: #FFDDDD;"| 1
style="background: #FFDDDD;"| 2
style="background: #FFDDDD;"| 3
style="background: #FFDDDD;"| 4
style="background: #FFDDDD;"| 5
style="background: #FFDDDD;"|...
style="background: #FFDDDD;"|
Starrer Körper aus N Teilchen
0
0
3
1
1
5
2
3
6
3
6
6
3
9
6
..
..
..
3
3N-6
6
Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.
Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für .
Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte.
Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte
erzwungen werden.
Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:
Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene.
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