TCP- Invarianz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel TCP- Invarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Zeitumkehr T

t → t´=-t

Ladungsumkehr / Konjugation

C : Q → Q´= - Q

Paritätsumkehr P

r → r´= -r (für den Ortsvektor)

Die Zeitumkehr- Transformation

$\begin{array}{rl}& T_g:=\{T-in\mathrm{var}ianteObservableA:TA=A\}\\ & =\{\overline{r},d\overline{r},a:=\frac{d^2\overline{r}}{d{t}^2},m,q,\rho :=\begin{array}{c}\lim \\ \mathrm{\Delta }V\to 0\\ \end{array}\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }V},\overline{F}=m\overline{a},\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q},\mathrm{\Phi }...\}\\ \end{array}$

Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

$T_u:=\{A:TA=-A\}=\{\overline{v}:=\frac{d\overline{r}}{dt},\overline{j}=\rho \overline{v},\overline{B},\overline{A}\}$

Denn:

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ & \overline{F}\in T_g,\overline{v}\in T_u,q\in T_g\Rightarrow \overline{B}\in T_u\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A},\mathrm{\nabla }\in T_g\\ \end{array}$

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

$\begin{array}{rl}& T:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & T:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\\ & T:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\iff \{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & T:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ & \\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung:

$T:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{-\frac{\partial }{\partial t}\rho -{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Die Gleichungen sind forminvariant!

Ladungsumkehr (Konjugation)

$\begin{array}{rl}& C_g:=\{C-in\mathrm{var}ianteObservableA:CA=A\}\\ & C_g=\{\overline{F},m,\overline{r},\overline{v},\overline{a}\}\\ \end{array}$

sind gerade unter C Ungerade unter c sind:

$\begin{array}{rl}& C_u:=\{A:CA=-A\}=\{\overline{E}=\frac{1}{q}\overline{F},\overline{B},\overline{j},\rho \}\\ & \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ \end{array}$

• C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

$\begin{array}{rl}& C:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & C:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{-{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=-\rho \}\\ & C:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & C:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ \end{array}$

$C:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{-\frac{\partial }{\partial t}\rho -{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Vertauschung: rechts ↔ links

Man unterscheidet:

$P\overline{r}=-\overline{r}$

→ polarer Vektor und

$P(\overline{a}\times \overline{b})=(-\overline{a}\times -\overline{b})=(\overline{a}\times \overline{b})$

P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor!!

Seien:

$\overline{a},\overline{b}$

polar,

$\overline{w},\overline{\sigma }$

axial Dann ist

$\begin{array}{rl}& \overline{a}\times \overline{w}polar\\ & \overline{a}\times \overline{b},\overline{w}\times \overline{\sigma }axial\\ & \overline{a}\overline{b}skalar:P(\overline{a}\overline{b})=\overline{a}\overline{b}\\ & \overline{w}\overline{\sigma }pseudoskalarP(\overline{w}\overline{\sigma })=-\overline{w}\overline{\sigma }\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& C_g:=\{C-in\mathrm{var}ianteObservableA:CA=A\}\\ & C_g=\{\overline{F},m,\overline{r},\overline{v},\overline{a}\}\\ \end{array}$

Wegen

$\begin{array}{rl}& \overline{F}=q\overline{v}\times \overline{B}\\ & \overline{F}\in P_u\\ & q\in P_g\\ & \overline{v}\in P_u\\ \end{array}$

ungerade Parität dagegen:

$P_u=\{polareVektoren,\overline{r},d\overline{r},\overline{v},\overline{a},\overline{F},\overline{E}=\frac{1}{q}\overline{F},\overline{j}=\rho \overline{v},\overline{A},Pseudoskalare\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}\}$

Wegen

$\begin{array}{rl}& \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \mathrm{\nabla }\in P_u\\ & \overline{B}\in P_g\\ \end{array}$

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

$\begin{array}{rl}& P:\{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\to \{{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=0\}\\ & P:\{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\to \{{\epsilon }_0{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{E}=\rho \}\\ & P:\{{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\to \{-{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{B}=0\}\\ & P:\{\mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\mu }_0\overline{j}\}\to \{-\mathrm{\nabla }\times \overline{B}=-{\mu }_0\overline{j}\}\\ \end{array}$

$P:\{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}\to \{\frac{\partial }{\partial t}\rho +{\mathrm{\nabla }}_r\cdot \overline{j}=0\}$

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem (Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!