TCP- Invarianz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel TCP- Invarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Zeitumkehr T: t → t´=-t
Ladungsumkehr / Konjugation: C : Q → Q´= - Q
Paritätsumkehr P: r → r´= -r (für den Ortsvektor)

Die Zeitumkehr- Transformation

\begin{matrix} T_{g} := {T - i n var i a n t e O b s e r v a b l e A : T A = A} \\ = {\bar{r}, d \bar{r}, a := \frac{d^{2} \bar{r}}{d t^{2}}, m, q, ρ := \begin{matrix} lim \\ Δ V \to 0 \end{matrix} \frac{Δ q}{Δ V}, \bar{F} = m \bar{a}, \bar{E} = \frac{\bar{F}}{q}, Φ ...} \end{matrix}

Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

T_{u} := {A : T A = - A} = {\bar{v} := \frac{d \bar{r}}{d t}, \bar{j} = ρ \bar{v}, \bar{B}, \bar{A}}

Denn:

\begin{matrix} \bar{F} = q \bar{v} \times \bar{B} \\ \bar{F} \in T_{g}, \bar{v} \in T_{u}, q \in T_{g} \Rightarrow \bar{B} \in T_{u} \\ \bar{B} = \nabla \times \bar{A}, \nabla \in T_{g} \end{matrix}

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

\begin{matrix} T : {\nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \to {\nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \\ T : {ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = ρ} \to {ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = ρ} \\ T : {\nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \to {- \nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \Leftrightarrow {\nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \\ T : {\nabla \times \bar{B} = μ_{0} \bar{j}} \to {- \nabla \times \bar{B} = - μ_{0} \bar{j}} \end{matrix}

Kontinuitätsgleichung:

T : {\frac{\partial}{\partial t} ρ + \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0} \to {- \frac{\partial}{\partial t} ρ - \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0}

Die Gleichungen sind forminvariant!

Ladungsumkehr (Konjugation)

\begin{matrix} C_{g} := {C - i n var i a n t e O b s e r v a b l e A : C A = A} \\ C_{g} = {\bar{F}, m, \bar{r}, \bar{v}, \bar{a}} \end{matrix}

sind gerade unter C Ungerade unter c sind:

\begin{matrix} C_{u} := {A : C A = - A} = {\bar{E} = \frac{1}{q} \bar{F}, \bar{B}, \bar{j}, ρ} \\ \bar{F} = q \bar{v} \times \bar{B} \end{matrix}

C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

\begin{matrix} C : {\nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \to {- \nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \\ C : {ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = ρ} \to {- ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = - ρ} \\ C : {\nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \to {- \nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \\ C : {\nabla \times \bar{B} = μ_{0} \bar{j}} \to {- \nabla \times \bar{B} = - μ_{0} \bar{j}} \end{matrix}

C : {\frac{\partial}{\partial t} ρ + \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0} \to {- \frac{\partial}{\partial t} ρ - \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0}

Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Vertauschung: rechts ↔ links

Man unterscheidet:

P \bar{r} = - \bar{r}

→ polarer Vektor und

P (\bar{a} \times \bar{b}) = (- \bar{a} \times - \bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{b})

P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor!!

Seien:

\bar{a}, \bar{b}

polar,

\bar{w}, \bar{σ}

axial Dann ist

\begin{matrix} \bar{a} \times \bar{w} p o l a r \\ \bar{a} \times \bar{b}, \bar{w} \times \bar{σ} a x i a l \\ \bar{a} \bar{b} s k a l a r : P (\bar{a} \bar{b}) = \bar{a} \bar{b} \\ \bar{w} \bar{σ} p s e u d o s k a l a r P (\bar{w} \bar{σ}) = - \bar{w} \bar{σ} \end{matrix}

\begin{matrix} C_{g} := {C - i n var i a n t e O b s e r v a b l e A : C A = A} \\ C_{g} = {\bar{F}, m, \bar{r}, \bar{v}, \bar{a}} \end{matrix}

Wegen

\begin{matrix} \bar{F} = q \bar{v} \times \bar{B} \\ \bar{F} \in P_{u} \\ q \in P_{g} \\ \bar{v} \in P_{u} \end{matrix}

ungerade Parität dagegen:

P_{u} = {p o l a r e V e k t o r e n, \bar{r}, d \bar{r}, \bar{v}, \bar{a}, \bar{F}, \bar{E} = \frac{1}{q} \bar{F}, \bar{j} = ρ \bar{v}, \bar{A}, P s e u d o s k a l a r e \nabla \cdot \bar{B}}

Wegen

\begin{matrix} \bar{B} = \nabla \times \bar{A} \\ \nabla \in P_{u} \\ \bar{B} \in P_{g} \end{matrix}

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

\begin{matrix} P : {\nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \to {\nabla_{r} \times \bar{E} = 0} \\ P : {ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = ρ} \to {ε_{0} \nabla_{r} \cdot \bar{E} = ρ} \\ P : {\nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \to {- \nabla_{r} \cdot \bar{B} = 0} \\ P : {\nabla \times \bar{B} = μ_{0} \bar{j}} \to {- \nabla \times \bar{B} = - μ_{0} \bar{j}} \end{matrix}

P : {\frac{\partial}{\partial t} ρ + \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0} \to {\frac{\partial}{\partial t} ρ + \nabla_{r} \cdot \bar{j} = 0}

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem (Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!

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