Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die klassische relativistische Dispersionsrelation $E=E\left(\underset{\_}{p}\right)$ für freie Teilchen der Masse m ohne äußeres Potential lautet:

$E^2=m^2{c}^4+p^2{c}^2$

(1.15)

• Potential ϕ, Vektorpotential A beschreiben das elektromagnetische Feld der Maxwell-Gleichungen. Wie ädert sich damit (1.15)? Erinnerung:

$\begin{array}{rl}\text{Magnetfeld}\underset{\_}{B}& =\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\times \underset{\_}{A}\\ \text{elektrisches Feld}\underset{\_}{E}& =-\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\underset{\_}{A}\\ \end{array}$

(1.16)

• E und B ändern sich nicht bei Eichtransformation

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{A}\to \underset{\_}{A}+\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}.\chi \\ & \varphi \to \varphi -\frac{1}{c}{\partial }_t\chi \\ \end{array}$

(1.17)

mit einer beliebigen skalaren Funktion $\chi =\chi (\underset{\_}{x},t).$

• Klassische Mechanik: E und B in Hamiltonfunktion eines Teilchens mit Masse m, Ladung e „einbauen“ durch

$H=\frac{p^2}{2m}\to H=\frac{{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi$

(1.18)

aus den Hamilton-Gleichungen $\underset{\_}{\dot{r}}={\partial }_{\underset{\_}{p}}H\underset{\_}{\dot{p}}=-{\partial }_{\underset{\_}{r}}H$ folgt (AUFGABE)

$m\ddot{\underset{\_}{r}}=e(\dot{\underset{\_}{r}}\times \underset{\_}{B}+\underset{\_}{E})$

d.h. die Newton‘schen Bewegungsgleichungen mit der Lorentzkraft sind ‚manifest invariant‘, da nur E und B in ihr auftreten, d.h. die Bahn $(\dot{\underset{\_}{r}},\underset{\_}{r})$im Phasenraum nicht von $\chi$ vgl. (1.17) abhängt.

• Quantenmechanik
  • Schrödingergleichung durch Korrespondenzprinzip $\underset{\_}{p}\to \hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$

$\mathfrak{i}\hslash {\partial }_t\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }=\{\frac{{(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi \}\mathrm{\Psi }$

(1.19)

(durch Vergleich mit (1.18))

• • Schrödingergleichung + Prinzip der lokalen Eichinvarianz (fundamentaler und wesentlich für die QED und QCD etc.)
    • Schritt 1: Starte von freier Schrödingergleichung $\mathfrak{i}\hslash {\partial }_t\mathrm{\Psi }=\frac{p^2}{2m}\mathrm{\Psi }$
    • Schritt 2: Mit $\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$erfüllt auch $\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{i\phi }$mit $\phi \in \mathbb{ℝ}$konstant die Schrödingergleichung und beschreibt dieselbe Physik:

Erwartungswerte sind invariant unter globalen Eichtransformationen

$\int {\mathrm{\Psi }}^{*}(\underset{\_}{x},t)\hat{O}(\underset{\_}{x},\underset{\_}{\mathrm{\nabla }},{\partial }_t)\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)d^{d}x=\text{invariant}$

(1.20)

• • • Schritt 3: (Prinzip der lokalen Eichinvarianz) ändere die Schrödingergleichung so, dass lokale Eichtransformationen

$\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)\to \mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}$

(1.21)

nichts an der Phase ändern, dass heißt mit Ψ ist auch $\mathrm{\Psi }{e}^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}$ eine Lösung der Schrödingergleichung und ergibt dieselben Eigenwerte.

Lösung

Lösung: In (1.20) machen $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$ und ${\partial }_t$in

$\hat{O}(\underset{\_}{x},\underset{\_}{\mathrm{\nabla }},{\partial }_t)$

Probleme, da z.B.

$\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}\ne e^{i\phi (\underset{\_}{x},t)}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$

(1.22)

was man bräuchte, um die Phase in (1.20) zu eliminieren.

Idee: ersetze Ableitung $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$durch „kovariante Ableitung“ D, so dass

${\underset{\_}{D}}_{\varphi }\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}=e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}\underset{\_}{D}\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)$

(1.23)

Mit dem Ansatz ${\underset{\_}{D}}_{\phi }=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)$ und ebenso für die Zeitableitung ${\partial }_t\to D_{\phi }^0={\partial }_t+g_{\phi }\left(t\right)$ folgt dann

$\begin{array}{rl}& {\underset{\_}{D}}_{\phi }\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}=\left(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\right)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}+\mathrm{\Psi }\mathfrak{i}\left(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\phi \right)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)=e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}({\underset{\_}{D}}_{\phi }+\mathfrak{i}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\phi )\mathrm{\Psi }\\ & D_{\phi }^0\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}==e^{\mathfrak{i}\phi (\underset{\_}{x},t)}({\underset{\_}{D}}_{\phi }^0+\mathfrak{i}{\partial }_t\phi )\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Die lokale Eichtransformation bewirkt also

$\begin{array}{rl}& {\underset{\_}{D}}_{\phi }=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)\leftrightarrow \underset{\_}{D}=\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+{\underset{\_}{f}}_{\phi }(\underset{\_}{x},t)+\mathfrak{i}\mathrm{\nabla }\phi (\underset{\_}{x},t)\\ & D_0={\partial }_t+g_{\phi }(\underset{\_}{x},t)\leftrightarrow D^0={\partial }_t+g_{\phi }(\underset{\_}{x},t)+\mathfrak{i}{\partial }_t\phi (\underset{\_}{x},t)\\ \end{array}$

(1.24)

Nun liefert der Vergleich mit (1.17)

$\underset{\_}{A}\to \underset{\_}{A}+\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}.\chi \varphi \to \varphi -{\partial }_t\chi \text{mit }\chi \in \mathbb{ℝ}c=1$

${\underset{\_}{f}}_{\phi }=\mathfrak{i}\alpha \underset{\_}{A},\phi =\alpha \chi ,g_{\phi }=-\mathfrak{i}\alpha \phi ,\alpha \in \mathbb{ℝ}$

in der Schrödingergleichung steht also statt $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$ nun $\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}+\mathfrak{i}\alpha \underset{\_}{A}$ und statt ${\partial }_t$ nun ${\partial }_t-\mathfrak{i}\alpha \phi$ mit ${\underset{\_}{f}}_{\phi },g_{\phi }$ als Eichfelder.

Sei$\hslash =1$. Statt

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\frac{1}{2m}{\left(\frac{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}{\mathfrak{i}}\right)}^2\mathrm{\Psi }\to \text{nun }\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }+\alpha \varphi \mathrm{\Psi }=\frac{1}{2m}{(\frac{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}{\mathfrak{i}}+\alpha \underset{\_}{A})}^2\mathrm{\Psi }$

Die Umbenennung von $\alpha \to -e$liefert

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\{\frac{{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2}{2m}+e\varphi \}\mathrm{\Psi }$

(1.25)

Diskussion

• Die „Vorschrift“ $\underset{\_}{p}\to \underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A}$ heißt minimale Kopplung
• Durch das Prinzip der lokalen Eichinvarianz haben wir die Potentiale ϕ und A sowie die Kopplungskonstante e quasi „hergeleitet“.
  • Jetzt Klein-Gordon-Gleichung mit ϕ, A: Wieder eichinvariante Ableitungen wie bei Schrödingergleichung

$\begin{array}{rl}& \widehat{\underset{\_}{p}}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\to \widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-e\underset{\_}{A}\\ & {\partial }_t\to {\partial }_t+\mathfrak{i}e\varphi \\ \end{array}$

(1.26)

$\begin{array}{rl}& ◻=\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}}^2\to {({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-{(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-\frac{\mathfrak{i}e}{\hslash }\underset{\_}{A})}^2\\ & (◻+m^2)\mathrm{\Psi }=0\to \{{({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-{(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-\mathfrak{i}e\underset{\_}{A})}^2+m^2\}\mathrm{\Psi }=0(\hslash =c=1)\\ \end{array}$

Anwendung: Klein Gordon Gleichung für Coulomb-Potential: $\underset{\_}{A}=0,e\varphi =-\frac{Z}{\alpha }$. Ähnlich wie bei derSchrödingergleichung für das Wasserstoffproblem haben wir

$\{{({\partial }_t+\mathfrak{i}e\phi )}^2-\mathrm{\Delta }+m_0^2\}\mathrm{\Psi }=0$

(1.27)

Lösen durch Separationsansatz

$\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\phi ;t)=e^{\mathfrak{i}Et}\underset{\text{Kugelfl }\ddot{\mathrm{a}}\text{ chenfunktionen}}{\underbrace{Y_{lm}(\theta ,\phi )}}\frac{\chi \left(r\right)}{x}$

• Radialgleichung für Radialwellenfunktionen$\chi \left(r\right)$
• Vergleich mit H-Atom. Schrödingergleichung (AUFGABE) liefert

$E=\pm m_0(1-\frac{Z^2{\alpha }^2}{2n^2}+\frac{Z^2{\alpha }^4}{n^4}[\frac{3}{8}-\frac{n}{2l+1}]+O\left(z^6{\alpha }^6\right))$

(1.28)

hier gibt es positive und negative Lösungen $\underset{\text{Hauptquantenzahl}}{\underbrace{n}}\equiv \underset{\text{Radialquantenzahl}}{\underbrace{n_r}}+1+l$

Der 3. Termin in (1.28) ist die relativistische Korrektur zur kinetischen Energie. Spin wird durch Klein-Gordon-Gleichung nicht beschrieben deshalb ist (1.28) nicht geeignet für Feinstruktur des H-Atoms

Klein Gordon Gleichung beschreibt Spin -0 – Teilchen z.B. π-Mesonen.

Spin ½ → Dirac Gleichung