SchwingendeRollendeWagen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. Dezember 2010, 19:47 Uhr

Das im Bild dargestellte System besteht aus zwei Wagen mit einer Feder.

Für t < 0 befindet sich das System unter Wirkung der Kraft $F = 1, 3 k N$ im Gleichgewicht, die die Feder mit der Federsteifigkeit $k = 2500 N / m$ ist zusammengedrückt. Für $t = 0$ wird die Kraft F plötzlich entfernt und die Wagen setzen sich in Bewegung. Die Masse des Wagens A ist gegeben mit $m_{A} = 1, 2 k g$ und die von B mit $m_{B} = 0, 6 k g$ .

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_{B}$ , mit der sich der Wagen B nach dem Ablösen von A bewegt.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[1]^[2]Auflösung von Federkraft und Energieerhaltung nach x und v Mathematica Rechnung:

N[F] = 1300; N@k = 2500; N@mA = 1.2; N@mB = 0.6; v =.; x =.

{x, v} = {x, v} /. 

  Solve[{k x == F, 1/2 k x^2 == 1/2 (mA + mB) v^2}, {v, x}][[2]]

N@v

Zahlenwert:19.3793 in m/s

b) Wagen B prallt zentral auf einen ruhenden Wagen C der Masse mC = 1 kg. Wagen B kommt komplett zum stehen (inelastischer Stoß). Wie schnell fährt Wagen C?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[3] Impulserhaltung Mathematica Rechnung:

N@mC = 1; v2 =.

v2 = v2 /. Solve[mB v == mC v2, v2][[1]]

N@v2

Zahlenwert:11.6276 in m/s

c) Geben Sie die Differentialgleichung an, mit der der Wagen A harmonisch schwingt. (Beachten Sie, dass der Wagen B sich abgelöst hat.)

Lösung

Verwendete Formeln: ^[4]^[5]^[6]^[7] $m \dot{\dot{x}} = - k x$

d) Mit welcher Frequenz schwingt der Wagen A nach dem Ablösen?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[8]es handelt sich um ein Federpendel Mathematica Rechnung:

Clear[x];

DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
N[Sqrt[k/mA]]

Zahlenwert:45.6435 in 1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

x (t) \to c_{2} \sin (\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_{A}}}) + c_{1} \cos (\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_{A}}})

Die Kreisfrequenz ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch

2 π

teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (

ν = 11.4109 s^{- 1}

)

e) Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m =15 s^(-1) gebremst würde.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[9] Mathematica Rechnung:

r =.;
DSolve[mA x''[t] == -k x[t] - r x'[t], x[t], t]
N@\[Beta] = 15;
r = \[Beta] 2 mA
N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))

Zahlenwert:43.1084 in 1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

x (t) \to c_{1} e^{\frac{t (- \sqrt{r^{2} - 4 k m_{A}} - r)}{2 m_{A}}} + c_{2} e^{\frac{t (\sqrt{r^{2} - 4 k m_{A}} - r)}{2 m_{A}}}

.

$ν = 6.86091 \frac{1}{s}$

Fakten zur Klausuraufgabe SchwingendeRollendeWagen

Quellen

↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33

Datum: {{#arraymap:SS08|,|x|x}}
Aufgabe: {{#arraymap:4|,|x|x}}
Abschnitt: {{#arraymap:MSW|,|x|x}}
Punkte: 10
Tutorium:

Semantische Daten

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[1] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5

[2] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E

[3] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2

[4] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4

[5] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2

[6] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7

[7] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5

[8] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29

[9] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33

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 DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
-N[Sqrt[k/mA]]|Zahl=45.6435|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet <math>x(t)\to c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)+c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)</math> Die {{FB|Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch 2 /pi teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (11.4109) }}
+N[Sqrt[k/mA]]|Zahl=45.6435|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet
+:<math>x(t)\to c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)+c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)</math> Die {{FB|Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch <math>2 \pi</math> teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (<math>\nu=11.4109 s^{-1}</math>) }}
 e)	Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m  =15 s^(-1) gebremst würde.
 {{Lösung|{{PhIngGl|4.33}}|Code=
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 N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))|Zahl=43.1084|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet
-<math>x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}</math>. <math>\nu=6.86091 \frac{1}{s}</math>}}
+:<math>x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}</math>.
+<math>\nu=6.86091 \frac{1}{s}</math>}}
 {{Klausuraufgabe

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