Beta-Zerfall: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:36 Uhr

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

\begin{aligned} (A, Z) & \to & (A, Z + 1) + e^{-} + \bar{ν} & β^{-} - Zerfall \\ (A, Z) & \to & (A, Z - 1) + e^{+} + ν & β^{+} - Zerfall \\ e^{-} + (A, Z) & \to & (A, Z - 1) + e^{-} + ν & e^{-} - Einfang \end{aligned}

wobei

β^{+}

-Zerfall und

e^{-}

-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

\begin{aligned} n & \to & p + e^{-} + \bar{ν} & β^{-} - Zerfall \\ p & \to & n + e^{+} + ν & β^{+} - Zerfall \\ e^{-} + p & \to & n + e^{-} + ν & e^{-} - Einfang \end{aligned}

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel

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Schema beta Strahlung

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit $t_{1 / 2} = \frac{0, 69}{λ}$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $λ (p_{e})$ , d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p_{e}$ wiedergeben. Die Intergration über alle $λ (p_{e})$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit $λ = \int λ (p_{e}) d p_{e}$ und damit die Halbwertzeit $t_{1 / 2}$ .

Fermi-Ansatz ^[1] in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)

λ = \frac{2 π}{h} {| ℋ_{i f} |}^{2} \frac{d N}{d E_{0}}

mit

Wechselwirkungsoperator $ℋ$ : $< ℋ_{i f} > = \int ψ_{f} ℋ ψ_{i} d τ$
Dichte der Endzustände dN/dE₀

Fermi-Ansatz $λ = \frac{2 π}{h} {| ℋ_{i f} |}^{2} \frac{d N}{d E_{0}}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

< ℋ_{i f} > = \int Φ_{ν}^{*} (P_{ν}) Φ_{e}^{*} (P_{e}) Φ_{f}^{} (A, Z + 1) ℋ Φ_{i}^{} (A, Z) d τ

mit

$Φ_{ν}^{*} (P_{ν}) Φ_{e}^{*} (P_{e})$ -Leptonen- Wellenfunktion
$Φ_{f}^{} (A, Z + 1) Φ_{i}^{} (A, Z)$ -Nukleonen Wellenfunktion
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $Φ (\vec{p}) \tilde{} e^{i (\vec{p} \vec{r}) / ℏ} = 1 + i (\vec{p} \vec{r}) / ℏ - \frac{1}{2} {((\vec{p} \vec{r}) / ℏ)}^{2} + \dots$

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit $(\vec{p} \vec{r}) / ℏ$ vernachlässigen, da für $E_{e} ≿ 1 M e V$ und für alle $E_{ν}$ gilt:

ℏ / p = \bar{λ} K \approx 200 \times 1 0^{- 15} m / E [M e V]

und damit $p R / ℏ \approx 1 0^{- 2}$ . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein {{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $Δ l = 0$ ).

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"klassische" Deutung

L = R p \overset{QM}{=} n ℏ

Bei

p R / ℏ ≪ 1

ist nur n = 0 maßgebend

Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $⟨ ℋ_{i f} ⟩$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $d N / d E_{0}$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $d N p^{2} d p$ , somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $d N d N (p_{e}) d N (p_{ν})$ mit $E_{0} = E_{l} + E_{ν} = \sqrt{(m_{0} c^{2})^{2} + (p_{e} c)^{2}} + p_{ν} c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $λ (p_{e}) d p_{e}$ :

λ (p_{e}) d p_{e} \tilde{} \frac{d N}{d E_{0}} \tilde{} \frac{p_{e}^{2} d p_{e} p_{ν}^{2} d p_{ν}}{d E_{0}} \tilde{} p_{e}^{2} {(E_{0} - E_{e})}^{2} d p_{e}

wegen

$p_{ν}^{2} = {(E_{0} - E_{e})}^{2} / c^{2}$ und $\frac{d p_{ν}}{d E} = \frac{1}{c}$

Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von $E_{0}$ . Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E₀ möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall $3 H \to^{3} H e + e - + \bar{ν}$ mit $E_{0} = 18 k e V (t_{1 / 2} \approx 12 a)$ [ $m_{ν} c^{2}$ zur Zeit $\leq 7 e V$ ].

Integration über Impulsspektrum:

λ = \frac{\ln 2}{t_{^{1} ╱_{2}}} = \int_{0}^{P_{0}} λ (p_{e}) d p_{e} = const f (Z, E_{0})

mit f ( Z, E_{0_{) über Coulomb-Korrekturfaktor}}

Die f-Werte sind tabelliert ^[2]. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung:

nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : $E_{e} p_{e}^{2} \to$

$f \tilde{} \int p_{e}^{6} d p_{e} \tilde{} p_{0}^{7} \tilde{} E_{0}^{3, 5}$

relat. Bereich (EO > 1 MeV): $E_{e} p_{e}^{2} \to$

$f \tilde{} \int p_{e}^{4} d p_{e} \tilde{} p_{0}^{5} \tilde{} E_{0}^{5}$

Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge) oder antiparallel (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge ( $Δ l = 0$ ) gelten somit die Auswahlregeln:

Fermi-Ü: $I_{i} = I_{f} \to Δ I = 0$
Gamow-Teller-Ü: $I_{i} = I_{f} + 1 \to Δ I = 0, \pm 1$

anschaulich:

$\begin{aligned} ⇑ & \to & ⇑ + & ⇑ + & ⇓ & Fermi \\ n & \to & p + & e^{-} + & \bar{ν} \\ ⇑ & \to & ⇓ + & ⇑ + & ⇑ & Gamow-Teller \end{aligned}$

Verbotene Übergänge:

Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft_{1/ 2}-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

$e^{i p r / ℏ} = 1 + \underset{bisher vernachl \ddot{a} ssigt}{\underset{⏟}{i (p r / ℏ) - 1 / 2 {(p r / ℏ)}^{2}}}$

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v_N/c-Beiträge

Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

Einzelnachweise

↑ Z. Physik 88, 161 (1934)
↑ Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
- Fermi- und GT-Übergänge

[1] Z. Physik 88, 161 (1934)

[2] Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

[1]

[2]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=12|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
+:<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
    & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\
   & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\
   & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\
-\end{align}</math>
+\end{align}</math> wobei <math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
-<math>{{\beta }^{+}}</math>-Zerfall und <math>e^-</math>-Einfang sind konkurrierende Vorgänge
 reduziert formuliert als
+:<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
    & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\
   & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\
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 \end{align}</math>
-Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung
+Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe {{FB|Isobarenregel}} als Folgerung aus der [[Tröpfchenmodell,_Weizsäckersche_Massenformel#I._Isobarenregeln|Weizsäckerschen Massenformel]]
-aus der Weizsäckerschen Massenformel S. 8
-[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=2|zentriert]]
+[[Datei:13.1.beta.messung.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Schema beta Strahlung]]
-Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer
+Beim ß-Zerfall ist neben der {{FB|Halbwertzeit}} <math>t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}</math> das Energie bzw. {{FB|Impulsspektrum der Elektronen}} (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
-Ansatz muß die Form des Impulsspektrums <math>\lambda(p_e)</math>, d. h. die
+die {{FB|Gesamtübergangswahrscheinlichkeit}} <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
-Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons)
-mit dem Impuls <math>p_e</math> wiedergeben. Die Intergration über alle <math>\lambda(p_e)</math> ergibt
-die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit <math>\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e </math> und damit
 die Halbwertzeit <math>t_{1/ 2}</math>.
-Fermi-Ansatz [Z. Physik 88, 161 (1934)] in Analogie zu elektromagnetischen
+Fermi-Ansatz <ref>Z. Physik 88, 161 (1934)</ref> in Analogie zu elektromagnetischen
-Übergängen. Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
+Übergängen. Störungstheorie ([[Fermis Goldene Regel]])
+:<math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math> mit
+*Wechselwirkungsoperator <math>\mathcal{H}</math>: <math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
+*Dichte der Endzustände dN/dE<sub>0</sub>
 [[Datei:13.2.beta.fermi.ansatz.png|miniatur|Fermi-Ansatz
 <math>\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}</math>
+Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
 ]]
-Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)
+:<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math> mit
+*<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
+*<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
+*(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
-Wechselwirkungsoperatord(<math>\mathcal{H}</math>:
-<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau </math>
-Dichte der Endzustände dN/dEo
+Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen
+<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>
-<math><{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau </math>
-<math>\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)</math>-Leptonen- Wellenfunktion
-<math>\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)</math>-Nukleonen Wellenfunktion
-(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)
+Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit <math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math> vernachlässigen, da für <math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math> und für alle <math>E_\nu</math> gilt:
-Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene
+:<math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
-Wellen
-<math>\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar  \right)}^{2}}+\ldots </math>
- Bei der Integration
-kann man zunächst alle Anteile mit
-<math>\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar </math>
- vernachlässigen,
-da für
-<math>{{E}_{e}}\succsim 1MeV</math>
- und für alle <math>E_\nu</math> gilt: <math>\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]</math>
 und damit <math>pR/\hbar \approx 10^{-2}</math>. Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen
 also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist
-gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein
+gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der {{FB|Leptonenemission}} kein
-Bahndrehimpuls weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).
+{{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. <math>\Delta l = 0</math>).
-Den Wechselwirkungs operator ersetzt man durch die Kopplungskonstante
 [[Datei:13.3.beta.klassische.deutung.png|miniatur|"klassische" Deutung
 <math>L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar </math>
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 Bei <math>pR/\hbar \ll 1</math> ist nur n = 0 maßgebend
 ]]
 Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß
 <math>\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle </math>
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 des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor
 <math>dN/dE_0</math> (der Dichte der Endzustände) steckt.
 Allgemein bei freien Teilchen <math>dN ~ p^2 dp</math>, somit bei gleichzeitiger
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 \sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c</math> (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das
 Impulsspektrum <math>\lambda(p_e)dp_e</math>:
+:<math>\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}</math> wegen
+<math>p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}</math> und
+<math>\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}</math>
+[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
-[[Datei:13.4.extrapolation.fermi.darstellung.png|miniatur|zentriert|hochkant=4]]
+Durch Extrapolation bei der {{FB|Fermi-Darstellung}} Bestimmung von <math>E_0</math>.
-Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von Eo '
 Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse,
 deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung
-des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung EO möglichst
+des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E<sub>0</sub> möglichst
-klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall 3H ~ 3He + e- + v mit
+klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall<math> ^3H \to ^3He + e- + \bar \nu</math> mit
-EO = 18 keV (t1 /2 ~ 12a) [mv c 2 zur Zeit :SreVj.
+<math>E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)</math> [<math>m_\nu c^2</math> zur Zeit <math>\le 7eV</math>].
 Integration über Impulsspektrum:
-Po
+:<math>\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }</math> mit f ( Z, E<sub>0<sub>) über Coulomb-Korrekturfaktor
-\ = ~ =JA(P )dp = const. 1\ tee
-/2 o
-f ( Z, Eo)
+Die f-Werte sind tabelliert <ref> Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
-i über Coulomb-Korrekturfaktor
+Phys. 22, 399</ref>. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
-Die f-Werte sind tabelliert (z. B. Feenburg, Trigg, Rev. Mod.
-Phys. 22, 399). Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit.
 Grobe Abschätzung:
-~ JP;dPe 2 pci ~ E 3,5
+;nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : <math>E_e ~ p_e^2\to</math>
-nichtrelat. Bereich (Eo « 1 MeV) : Ee ~ Pe~f ~ 0
+<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}</math>
->
+;relat. Bereich (EO > 1 MeV):<math>E_e ~ p_e^2\to</math>
-Pe~f ~ Jp!dPe
+<math>f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}</math>
-E 5
-relat. Bereich (EO ~ 1 MeV) :Ee ~ ~ Po ~ 0
 Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins
-der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-übergänge) oder antiparallel
+der beiden Leptonen parallel ({{FB|Gamow-Teller-Übergänge}}) oder antiparallel
-(Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge
+({{FB|Fermi-Übergänge}}) stehen können. Für erlaubte Übergänge
-(.6.1 = 0) gelten somit die Auswahlregeln:
+(<math>\Delta l = 0</math>) gelten somit die Auswahlregeln:
-~ ~ Fermi-Ü: I i ;:: I f nv.6..1 = 0
+;Fermi-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0</math>
-Gamow-Teller-Ü: I i = I f + 1 ~.6.I = 0, ±l (0 <-I~ 0)
+;Gamow-Teller-Ü: <math>{{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1</math>
 anschaulich:
-'r ~ 1'r + 1'r + ~ Fermi
-~ n p e 1/
+<math>\begin{align}
-'r ~ ~ + 1'r + 11 Gamow-Teller
+  & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\
+ & n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\
+ & \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\
+\end{align}</math>
 ===Verbotene Übergänge:===
-Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft1/ 2-Werte
+Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft<sub>1/ 2</sub>-Werte
 Beiträge für diese Übergänge aus:
 a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen
-e ipr /ll = 1 + li (pr/-tl) - ~(pr/1'l')2J +- ...
-v
+<math>{{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar  \right)-1/2{{\left( pr/\hbar  \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}</math>
-bisher vernachlässigt
-b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit vN/c-Beiträge
+b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v<sub>N</sub>/c-Beiträge
 Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:
 [[Datei:13.5.verbotene.uebergaenge.png|miniatur|hochkant=4|zentriert]]
+==Einzelnachweise==
+<references />
+==Weitere Informationen==
+(gehört nicht zum Skript)
+===Prüfungsfragen===
+*ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
+*Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
+*Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
+* Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
+** Fermi- und GT-Übergänge

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