Beta-Zerfall

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung. __SHOWFACTBOX__

\begin{matrix} (A, Z) & \to & (A, Z + 1) + e^{-} + \bar{ν} & β^{-} - Zerfall \\ (A, Z) & \to & (A, Z - 1) + e^{+} + ν & β^{+} - Zerfall \\ e^{-} + (A, Z) & \to & (A, Z - 1) + e^{-} + ν & e^{-} - Einfang \end{matrix}

wobei

β^{+}

-Zerfall und

e^{-}

-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

\begin{matrix} n & \to & p + e^{-} + \bar{ν} & β^{-} - Zerfall \\ p & \to & n + e^{+} + ν & β^{+} - Zerfall \\ e^{-} + p & \to & n + e^{-} + ν & e^{-} - Einfang \end{matrix}

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit $t_{1 / 2} = \frac{0, 69}{λ}$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $λ (p_{e})$ , d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p_{e}$ wiedergeben. Die Intergration über alle $λ (p_{e})$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit $λ = \int λ (p_{e}) d p_{e}$ und damit die Halbwertzeit $t_{1 / 2}$ .

Fermi-Ansatz ^[1] in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)

λ = \frac{2 π}{h} {| ℋ_{i f} |}^{2} \frac{d N}{d E_{0}}

mit

Wechselwirkungsoperator $ℋ$ : $< ℋ_{i f} > = \int ψ_{f} ℋ ψ_{i} d τ$
Dichte der Endzustände dN/dE₀

Fermi-Ansatz $λ = \frac{2 π}{h} {| ℋ_{i f} |}^{2} \frac{d N}{d E_{0}}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

< ℋ_{i f} > = \int Φ_{ν}^{*} (P_{ν}) Φ_{e}^{*} (P_{e}) Φ_{f}^{} (A, Z + 1) ℋ Φ_{i}^{} (A, Z) d τ

mit

$Φ_{ν}^{*} (P_{ν}) Φ_{e}^{*} (P_{e})$ -Leptonen- Wellenfunktion
$Φ_{f}^{} (A, Z + 1) Φ_{i}^{} (A, Z)$ -Nukleonen Wellenfunktion
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $Φ (\vec{p}) \tilde{} e^{i (\vec{p} \vec{r}) / ℏ} = 1 + i (\vec{p} \vec{r}) / ℏ - \frac{1}{2} {((\vec{p} \vec{r}) / ℏ)}^{2} + \dots$

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit $(\vec{p} \vec{r}) / ℏ$ vernachlässigen, da für $E_{e} ≿ 1 M e V$ und für alle $E_{ν}$ gilt:

ℏ / p = \bar{λ} K \approx 200 \times 1 0^{- 15} m / E [M e V]

und damit $p R / ℏ \approx 1 0^{- 2}$ . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein {{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $Δ l = 0$ ).

"klassische" Deutung $L = R p \overset{QM}{=} n ℏ$ Bei $p R / ℏ ≪ 1$ ist nur n = 0 maßgebend

Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $⟨ ℋ_{i f} ⟩$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $d N / d E_{0}$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $d N p^{2} d p$ , somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $d N d N (p_{e}) d N (p_{ν})$ mit $E_{0} = E_{l} + E_{ν} = \sqrt{(m_{0} c^{2})^{2} + (p_{e} c)^{2}} + p_{ν} c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $λ (p_{e}) d p_{e}$ :

λ (p_{e}) d p_{e} \tilde{} \frac{d N}{d E_{0}} \tilde{} \frac{p_{e}^{2} d p_{e} p_{ν}^{2} d p_{ν}}{d E_{0}} \tilde{} p_{e}^{2} {(E_{0} - E_{e})}^{2} d p_{e}

wegen

$p_{ν}^{2} = {(E_{0} - E_{e})}^{2} / c^{2}$ und $\frac{d p_{ν}}{d E} = \frac{1}{c}$

Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von $E_{0}$ . Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E₀ möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall $^{3} H \to^{3} H e + e - + \bar{ν}$ mit $E_{0} = 18 k e V (t_{1 / 2} \approx 12 a)$ [ $m_{ν} c^{2}$ zur Zeit $\leq 7 e V$ ].

Integration über Impulsspektrum:

λ = \frac{\ln 2}{t_{^{1} ╱_{2}}} = \int_{0}^{P_{0}} λ (p_{e}) d p_{e} = const f (Z, E_{0})

mit f ( Z, E_{0_{) über Coulomb-Korrekturfaktor}}

Die f-Werte sind tabelliert ^[2]. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung:

nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : $E_{e} p_{e}^{2} \to$

$f \tilde{} \int p_{e}^{6} d p_{e} \tilde{} p_{0}^{7} \tilde{} E_{0}^{3, 5}$

relat. Bereich (EO > 1 MeV): $E_{e} p_{e}^{2} \to$

$f \tilde{} \int p_{e}^{4} d p_{e} \tilde{} p_{0}^{5} \tilde{} E_{0}^{5}$

Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge) oder antiparallel (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge ( $Δ l = 0$ ) gelten somit die Auswahlregeln:

Fermi-Ü: $I_{i} = I_{f} \to Δ I = 0$
Gamow-Teller-Ü: $I_{i} = I_{f} + 1 \to Δ I = 0, \pm 1$

anschaulich:

$\begin{matrix} ⇑ & \to & ⇑ + & ⇑ + & ⇓ & Fermi \\ n & \to & p + & e^{-} + & \bar{ν} \\ ⇑ & \to & ⇓ + & ⇑ + & ⇑ & Gamow-Teller \end{matrix}$

Verbotene Übergänge:

Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft_{1/ 2}-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

$e^{i p r / ℏ} = 1 + \underset{bisher vernachl \ddot{a} ssigt}{\underset{⏟}{i (p r / ℏ) - 1 / 2 {(p r / ℏ)}^{2}}}$

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v_N/c-Beiträge

Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

Einzelnachweise

↑ Z. Physik 88, 161 (1934)
↑ Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
- Fermi- und GT-Übergänge

[1] Z. Physik 88, 161 (1934)

[2] Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

[1]

[2]

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Verbotene Übergänge:

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