Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\underset{\_}{\alpha }(\underset{\_}{\hat{p}}-e\underset{\_}{A})+\beta m+e\varphi )\mathrm{\Psi },\hslash =c=1$

(1.37)

Jetzt erfolgt die Zerlegung $\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{rl}& \phi \\ & \chi \\ \end{array}\right)\underset{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}{\underbrace{e^{-\mathfrak{i}mt}}}=\left(\begin{array}{rl}& \phi \\ & \chi \\ \end{array}\right)e^{\frac{-\mathfrak{i}m{c}^{2}t}{\hslash }}$, mit den 2er Spinoren

$\phi =\left(\begin{array}{rl}& {\phi }_1\\ & {\phi }_2\\ \end{array}\right),\chi =\left(\begin{array}{rl}& {\chi }_1\\ & {\chi }_2\\ \end{array}\right).$

Damit folgt dann

$\mathfrak{i}{\partial }_t\left(\begin{array}{rl}& \phi \\ & \chi \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}& \underset{\_}{\sigma }(\underset{\_}{\hat{p}}-e\underset{\_}{A})\chi \\ & \underset{\_}{\sigma }(\underset{\_}{\hat{p}}-e\underset{\_}{A})\phi \\ \end{array}\right)+e\varphi \left(\begin{array}{rl}& \phi \\ & \chi \\ \end{array}\right)-2m{c}^2\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & \chi \\ \end{array}\right)$

(1.38)

Beachte das jetzt überall $\phi =\phi (\underset{\_}{x},t)$gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse $m{c}^2$ ist

$\begin{array}{rl}& mc{\chi }^2\gg \left|i\hslash {\partial }_t\chi \right|,mc{\chi }^2\gg \left|e\varphi \phi \right|\\ & \Rightarrow \chi \approx \frac{1}{2m{c}^2}\underset{\_}{\sigma }(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})\phi \\ \end{array}$

(1.39)

einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

$i{\partial }_t\phi =\frac{1}{2m}\left(\underset{\_}{\sigma }{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2\right)\phi +e\varphi \phi$

(1.40)

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

$\begin{array}{r}\left(\underset{\_}{\sigma }\underset{\_}{A}\right)\left(\underset{\_}{\sigma }\underset{\_}{B}\right)=\underset{\_}{A}\underset{\_}{B}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}+\mathfrak{i}\underset{\_}{\sigma }(\underset{\_}{A}\times \underset{\_}{B})\\ \end{array}$

(1.41)

mit

$\begin{array}{r}\underset{\_}{A}=(A_1,A_2,A_3),\underset{\_}{B}=(B_1,B_2,B_3),\underset{\_}{A},\underset{\_}{B}\text{ vektorwertiger Operator und}\\ \underset{\_}{\sigma }=({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_3)\text{Vektor der Pauli-Matrizen}\\ \end{array}$

Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)

$\begin{array}{rl}& \{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j\}:={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j+{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i=2{\delta }_{ij}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}\\ & [{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j]:={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j-{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i=2\mathfrak{i}{\epsilon }_{ijk}{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_k\\ \end{array}$

(1.42)

Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte $\underset{\_}{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$ und $\underset{\_}{A}=\underset{\_}{A}(\underset{\_}{x},t)$

$(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})\times (\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})=-\frac{e\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\text{Magnetfeld}}{\underbrace{(\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\times \underset{\_}{A})}}=-\frac{e\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\text{Magnetfeld}}{\underbrace{\underset{\_}{B}}}$

(1.43)

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

Pauli-Gleichung $i{\partial }_t\phi =[\frac{1}{2m}{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2-\underset{\text{Pauli-Term}}{\underbrace{\frac{e\hslash }{2m}\underset{\_}{\sigma }.\underset{\_}{B}}}+e\varphi ]\phi$

(1.44)

mit dem 2-Komponentigen Spinor $\phi =\left(\begin{array}{rl}& {\phi }_1\\ & {\phi }_2\\ \end{array}\right)$

siehe auch

Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:

Literatur

LITERATUR: GREINER