Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung als

𝔦 \partial_{t} Ψ = (\underline{α} (\underline{\hat{p}} - e \underline{A}) + β m + e ϕ) Ψ, ℏ = c = 1

(1.37)

Jetzt erfolgt die Zerlegung $Ψ = (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) \underset{Ruheenergie-Phasenfaktor}{\underset{⏟}{e^{- 𝔦 m t}}} = (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) e^{\frac{- 𝔦 m c^{2} t}{ℏ}}$ , mit den 2er Spinoren

φ = (\begin{matrix} φ_{1} \\ φ_{2} \end{matrix}), χ = (\begin{matrix} χ_{1} \\ χ_{2} \end{matrix}) .

Damit folgt dann

𝔦 \partial_{t} (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) = (\begin{matrix} \underline{σ} (\underline{\hat{p}} - e \underline{A}) χ \\ \underline{σ} (\underline{\hat{p}} - e \underline{A}) φ \end{matrix}) + e ϕ (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) - 2 m c^{2} (\begin{matrix} 0 \\ χ \end{matrix})

(1.38)

Beachte das jetzt überall $φ = φ (\underline{x}, t)$ gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse $m c^{2}$ ist

\begin{matrix} m c χ^{2} ≫ | i ℏ \partial_{t} χ |, m c χ^{2} ≫ | e ϕ φ | \\ \Rightarrow χ \approx \frac{1}{2 m c^{2}} \underline{σ} (\underline{p} - e \underline{A}) φ \end{matrix}

(1.39)

einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

i \partial_{t} φ = \frac{1}{2 m} (\underline{σ} {(\underline{p} - e \underline{A})}^{2}) φ + e ϕ φ

(1.40)

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

\begin{matrix} (\underline{σ} \underline{A}) (\underline{σ} \underline{B}) = \underline{A} \underline{B} \underline{\underline{1}} + 𝔦 \underline{σ} (\underline{A} \times \underline{B}) \end{matrix}

(1.41)

mit

\begin{matrix} \underline{A} = (A_{1}, A_{2}, A_{3}), \underline{B} = (B_{1}, B_{2}, B_{3}), \underline{A}, \underline{B} vektorwertiger Operator und \\ \underline{σ} = ({\underline{\underline{σ}}}_{1}, {\underline{\underline{σ}}}_{2}, {\underline{\underline{σ}}}_{3}) Vektor der Pauli-Matrizen \end{matrix}

Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften (AUFGABE)

\begin{matrix} {{\underline{\underline{σ}}}_{i}, {\underline{\underline{σ}}}_{j}} := {\underline{\underline{σ}}}_{i} {\underline{\underline{σ}}}_{j} + {\underline{\underline{σ}}}_{j} {\underline{\underline{σ}}}_{i} = 2 δ_{i j} \underline{\underline{1}} \\ [{\underline{\underline{σ}}}_{i}, {\underline{\underline{σ}}}_{j}] := {\underline{\underline{σ}}}_{i} {\underline{\underline{σ}}}_{j} - {\underline{\underline{σ}}}_{j} {\underline{\underline{σ}}}_{i} = 2 𝔦 ε_{i j k} {\underline{\underline{σ}}}_{k} \end{matrix}

(1.42)

Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte $\underline{p} = \frac{ℏ}{𝔦} \underline{\nabla}$ und $\underline{A} = \underline{A} (\underline{x}, t)$

(\underline{p} - e \underline{A}) \times (\underline{p} - e \underline{A}) = - \frac{e ℏ}{𝔦} \underset{Magnetfeld}{\underset{⏟}{(\underline{\nabla} \times \underline{A})}} = - \frac{e ℏ}{𝔦} \underset{Magnetfeld}{\underset{⏟}{\underline{B}}}

(1.43)

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

Pauli-Gleichung

i \partial_{t} φ = [\frac{1}{2 m} {(\underline{p} - e \underline{A})}^{2} - \underset{Pauli-Term}{\underset{⏟}{\frac{e ℏ}{2 m} \underline{σ} . \underline{B}}} + e ϕ] φ

(1.44)

mit dem 2-Komponentigen Spinor $φ = (\begin{matrix} φ_{1} \\ φ_{2} \end{matrix})$

siehe auch

Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:

Literatur

LITERATUR: GREINER

Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

siehe auch

Literatur

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