Übersicht:Thermodynamik

klassische Mechanik

• Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik

--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten

• Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
• Lösungen Trajektorien im Phasenraum

Satz von Liouville

Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung --> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen --> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen $I(t_1)\ge I(t_2)$ mit $t_1<t_2$

Zustand

$⟨M^{\nu }⟩=\int d\xi \rho \left(\xi \right)M^{\nu }\left(\xi \right)$ (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen $\rho \left(\xi \right)=\exp (\psi -{\lambda }_{\nu }{M}^{\nu }\left(\xi \right))=z^{-1}\exp (-{\lambda }_{\nu }{M}^{\nu }\left(\xi \right))$ mit $z={\mathrm{e}}^{-\psi }=\int e^{-{\lambda }_{\nu }{M}^{\nu }\left(\xi \right)}d\xi$

Shannon-Information

$I\left(P\right)=\sum _i{P}_i\ln P_i\le 0$ Information: Welches Ereignis tritt ein? Wie viel weiß ich von meinem System Maximum$I\left(P\right)=0$ --> schafte Verteilung$P_i={\delta }_{ij}$

Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- >$I\left(P\right)<0$ Variation der P_i um$\delta P_i$mit 1 Nebendbedingung$\sum _i{P}_i=1$ führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters$\lambda =-(\psi +1)$ zu

$I\left(P\right)=\sum P_i\ln P_i+\lambda (P_i-1)$

die Variation$\delta I\left(P\right)=\sum (\ln P_i+1)\delta P_i$ Also Wahl der N-m-1 freien Parameter möglich durch$0=\sum (\ln P_i-\psi +{\lambda }_{\nu }{M}_i^{\nu })\delta P_i$ so erhält man die verallgemeinerte kanonische Verteilung

$P_i=\exp (\psi -{\lambda }_{\nu }{M}_i^{\nu })$

$\ln \left(P_i\right)=-(\lambda +1)=const$ für Gleichverteilung$P_i=\frac{1}{N}$

durch eine Legendere trafp $I\left(P\right)\to I\left(\lambda \right)$