Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 20. Juli 2009, 11:55 Uhr

klassische Mechanik

Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik

--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten

Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
Lösungen Trajektorien im Phasenraum

Satz von Liouville

Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung --> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen --> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen $I (t_{1}) \geq I (t_{2})$ mit $t_{1} < t_{2}$

Zustand

$⟨ M^{ν} ⟩ = \int d ξ ρ (ξ) M^{ν} (ξ)$ (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen $ρ (ξ) = \exp (ψ - λ_{ν} M^{ν} (ξ)) = z^{- 1} \exp (- λ_{ν} M^{ν} (ξ))$ mit $z = e^{- ψ} = \int e^{- λ_{ν} M^{ν} (ξ)} d ξ$

Shannon-Information

$I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} \leq 0$
Information: Welches Ereignis tritt ein?
Wie viel weiß ich von meinem System?
Maximum $I (P) = 0$ --> schafte Verteilung $P_{i} = δ_{i j}$

minimum

Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- > $I (P) < 0$ Variation der $P_{i}$ um $δ P_{i}$

mit 1 Nebendbedingung $\sum_{i} P_{i} = 1$ führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters $λ$ zu

$I (P) = \sum P_{i} \ln P_{i} + λ (P_{i} - 1)$

die Variation, also $δ I (P) = \sum (\ln P_{i} + 1) δ P_{i}$

lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen

$(\ln P_{i}) = - (λ + 1) = const.$

so erhält man wegen der Normierung ( $\sum_{i} P_{i} = 1$ ) die

Gleichverteilung $P_{i} = \frac{1}{N}$

Nebenbedingungen

führt zum Informationstheoretischen Prinzip nach Jaynes
Wahrscheinlichkeitsverteilung die die minimale Information enthält bei Erfüllung aller bekannten Nebenbedingungen
Variationsverfahren mit Nebenbedingungen
Shannon-Information $I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} \leq 0$ soll minimal werden
Es gibt m+1 Nebenbedingungen:
- Gesamtwahrscheinlichkeiten sind 1: $\sum_{i = 1}^{N} P_{i} = 1$
- Kenntnis von $ν$ Mittelwerten makroskopischer Observabelen $⟨ M^{ν} ⟩ = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} M_{i}^{ν}$
- also mit Lagrange Multiplikatoren: $I (P) = \sum P_{i} \ln P_{i} + λ (P_{i} - 1) + λ_{ν} M_{i}^{ν} P_{i}$
führt zur Variation $δ I (P) = (\sum \ln P_{i} + \underset{: = - ψ}{\underset{⏟}{1 + λ}} + λ_{ν} M_{i}^{ν}) δ P_{i} = 0$
daraus erhält man die verallgemeinerte kanonische Verteilung $P_{i} = \exp (ψ - λ_{ν} M_{i}^{ν})$
die m+1 Lagrange-Multiplikatoren sind also eindeutig bestimmt
$ψ = ψ (λ_{ν}) = - \ln \sum \exp (- λ_{μ} M_{i}^{μ})$ , da $\begin{aligned} 1 = \sum P_{i} = \sum \exp (ψ - λ_{ν} M_{i}^{ν}) = e^{ψ} e^{λ_{ν}} \sum e^{M_{i}^{ν}} \\ \Rightarrow e^{- ψ} = e^{λ_{ν}} \sum e^{M_{i}^{ν}} \end{aligned}$

Fundamentalbeziehung

durch eine Legenderetransformation $I (P) \to I (λ)$

$I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} = \sum_{i} P_{i} \ln \exp (ψ - λ_{ν} M_{i}^{ν}) = ψ \underset{1}{\underset{⏟}{\sum_{i} P_{i}}} - λ_{ν} \sum_{i} P_{i} M_{i}^{ν} = ψ - λ_{ν} ⟨ M^{ν} ⟩$

extensive Parameter $⟨ M^{ν} ⟩ = \partial_{λ_{ν}} ψ (λ_{ν}) = \partial_{λ_{ν}} (- \ln \sum \exp (- λ_{μ} M_{i}^{μ}))$
intensive Parameter $λ_{ν} = - \partial_{⟨ M^{ν} ⟩} I$

$\to d I = - λ_{ν} d ⟨ M^{ν} ⟩$

Beziehungen

$I (P) = \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} = T r (\hat{ρ} \ln \hat{ρ})$
Verknüpfung mit phänomenologischer Statistik
- Entropie = fehlende Kenntnis
- $S (⟨ M^{ν} ⟩) = - k_{B} I (⟨ M^{ν} ⟩)$
- da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, --> kann Entropie (S) nicht abnehmen
- $S = - k I = - k Tr (\hat{ρ} \ln (\hat{ρ})) = - k (ψ - λ_{ν} M^{ν}) = k (λ_{ν} M^{ν} - ψ ({λ_{μ}}))$
- $k λ_{ν} = \partial_{⟨ M^{ν} ⟩} S$ pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
Gibbssche Fundamentalgleichung $d S = k λ_{ν} d ⟨ M^{ν} ⟩ = k (β d U + \frac{β}{p} d V - \frac{S}{μ} d N)$

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 *durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda  \right)</math>
 <math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
 * extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle
    ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)
    ={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math>
 * intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math>
+<math>\to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
+==Beziehungen==
+*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=Tr\left( \hat{\rho }\ln \hat{\rho } \right)</math>
+* Verknüpfung mit phänomenologischer Statistik
+** Entropie = fehlende Kenntnis
+** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)</math>
+** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, --> kann Entropie (S) nicht abnehmen
+** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
+** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
+* Gibbssche Fundamentalgleichung <math>dS=k{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =k\left( \beta dU+\frac{\beta }{p}dV-\frac{S}{\mu }dN \right)</math>
 [[Kategorie:Thermodynamik]]

Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

klassische Mechanik

Satz von Liouville

Zustand

Shannon-Information

minimum

Nebenbedingungen

Fundamentalbeziehung

Beziehungen

Navigationsmenü

Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. Juli 2009, 11:55 Uhr

klassische Mechanik

Satz von Liouville

Zustand

Shannon-Information

minimum

Nebenbedingungen

Fundamentalbeziehung

Beziehungen

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