Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

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$i{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\underset{\_}{a}.\underset{\_}{\hat{p}}+\beta m)\mathrm{\Psi }$

(1.45)

• 1. Kontinuitätsgleichung mit ${\mathrm{\Psi }}^{+}$(1.45) und (1.45)+$\mathrm{\Psi }$

$\begin{array}{rl}& \mathfrak{i}{\mathrm{\Psi }}^{+}\dot{\mathrm{\Psi }}={\mathrm{\Psi }}^{+}(\underset{\_}{\alpha }.\widehat{\underset{\_}{p}}+\beta m)\mathrm{\Psi }\\ & -\mathfrak{i}{\dot{\mathrm{\Psi }}}^{+}\mathrm{\Psi }={\left(\underset{\_}{p}\mathrm{\Psi }\right)}^{+}\underset{\_}{\alpha }\mathrm{\Psi }+m{\mathrm{\Psi }}^{+}\beta \mathrm{\Psi }\\ & ------------------------\\ & \mathfrak{i}{\partial }_t\underset{:=\rho }{\underbrace{\left({\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }\right)}}={\mathrm{\Psi }}^{+}\underset{\_}{\alpha }\left(\underset{\_}{p}\mathrm{\Psi }\right)-{\left(\underset{\_}{p}\mathrm{\Psi }\right)}^{+}\underset{\_}{\alpha }\mathrm{\Psi }\\ & =-\mathfrak{i}\sum _k{\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }_k\left({\partial }_k\mathrm{\Psi }\right)-{\left({\partial }_k\mathrm{\Psi }\right)}^{+}{\alpha }_k\mathrm{\Psi }\\ & =-\mathfrak{i}\sum _k{\partial }_k\underset{:=j_k}{\underbrace{\left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }_k\mathrm{\Psi }\right)}}\\ \end{array}$

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j_k.

$\begin{array}{rl}& \rho :={\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }=\sum _{k=1}^4{\mathrm{\Psi }}_k^{*}{\mathrm{\Psi }}_k\\ & \underset{\_}{j}={\mathrm{\Psi }}^{+}\underset{\_}{\alpha }\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

(1.46)

(Kontinuitätsgleichung) $\Rightarrow {\partial }_t\rho +\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\underset{\_}{j}=0$

(1.47)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors $\mathrm{\Psi }$ zusammen.

• 1. Lorentz-Invarianz

Umdefinieren der Matrizen ${\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_k,\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}$als

${\gamma }^0:=\beta =\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& -\underset{\_}{\underset{\_}{1}}\\ \end{array}\right);{\gamma }^k=\beta {\alpha }_k=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_k\\ -{\sigma }_k& 0\\ \end{array}\right)$

(1.48)

$\begin{array}{rl}& {\left({\gamma }^0\right)}^{+}={\gamma }^0,{\left({\gamma }^0\right)}^2=1\\ & {\left({\gamma }^k\right)}^{+}=-{\gamma }^k,{\left({\gamma }^k\right)}^2=-1k\in \{1,2,3\}\\ & {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{g^{\mu }}^{\nu },{g^{\mu }}^{\nu }=diag(1,-1,-1,-1)\\ \end{array}$

(1.49)

(z.B. ${\gamma }^k{\gamma }^j+{\gamma }^j{\gamma }^k=\beta {\alpha }_k\beta {\alpha }_j+\beta {\alpha }_j\beta {\alpha }_k\underset{1.32}{\underbrace{=}}-{\alpha }_k{\beta }^2{\alpha }_j-{\alpha }_j{\beta }^2{\alpha }_k=-2{\delta }_{jk}$)

Relativistische Notation:

kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben

$x^{\mu }\leftrightarrow (x^0,x^1,x^2,x^3):=(ct,x,y,z)=(ct,\underset{\_}{x})$

(1.50)

kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)

$x_{\mu }=(x_0,x_1,x_2,x_3):=(ct,-x,-y,-z)=(ct,-\underset{\_}{x})$

(1.51)

• Das relativistische Skalarprodukt

$x_{\mu }{x}^{\mu }=\sum _{\mu =0}^4{x}_{\mu }{x}^{\mu }=c^2{t}^2-{\underset{\_}{x}}^2$

(1.52)

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

• Metrischer Tensor
• ${g_{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}^{\nu }=diag(1,-1,-1,-1)$
• in der SRT der selbe überall
• Hoch und Runterziehen$x_{\mu }={g_{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }{x}^{\mu }={g^{\mu }}^{\nu }{x}_{\nu }$
• Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)

$\begin{array}{rl}& c{t}^{\prime }=\gamma ct-\gamma \beta x\\ & x^{\prime }=-\beta \gamma ct+\gamma x\\ \end{array}$

allgemein $x{\text{'}}_{\mu }={L^{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }$

(1.53)

hier mit ${L^{\mu }}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$.

---

• Invarianz von $x_{\mu }{x}^{\mu }$unter Lorentz-Transformationen:

$x{\text{'}}_{\mu }x{\text{'}}^{\mu }={g_{\mu }}_{\nu }x{\text{'}}^{\nu }x{\text{'}}^{\mu }={g_{\mu }}_{\nu }{L^{\nu }}_{\alpha }{x}^{\alpha }{L^{\mu }}_{\beta }{x}^{\beta }={g_{\alpha }}_{\beta }{x}^{\alpha }{x}^{\beta }=x_{\beta }{x}^{\beta }$

(1.54)

Für Vierervektoren$a^{\mu }$, die sich wie der Koordinatenvektor $x^{\mu }$ bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist $a_{\mu }{a}^{\mu }$Lorentz-invariant.

GradientVierergradient (etc)

$\begin{array}{rl}& {\partial }^{\nu }=\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}\text{kontravarianter Vierergradient}\\ & {\partial }_{\nu }=\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\text{kovarianter Vierergradient}\\ \end{array}$

(1.55)

Die Dirac-Gleichung folgt aus

$\begin{array}{rl}& (\mathfrak{i}{\partial }_t-\underset{\_}{\alpha }\frac{1}{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}-\beta m)\mathrm{\Psi }=0|\cdot \beta \\ & (\mathfrak{i}{\gamma }^0\underset{{\partial }_0}{\underbrace{{\partial }_t}}+\frac{1}{\mathfrak{i}}\sum _{k=1}^3{\gamma }^k\underset{{\partial }_k}{\underbrace{{\partial }_{x^k}}})\mathrm{\Psi }=0\\ \end{array}$

Dirac-Gleichung $(\mathfrak{i}{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\mathrm{\Psi }=0$

(1.56)

• Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen

Es muss also gelten

$(\mathfrak{i}{\gamma }^{\nu }{\partial }_{\nu }-m)\mathrm{\Psi }=0\left(\text{in S}\right)(\mathfrak{i}\gamma {\text{'}}^{\nu }\partial {\text{'}}_{\nu }-m^{\prime }){\mathrm{\Psi }}^{\prime }=0\left(\text{in S }{}^{\prime }\right)$

(1.57)

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)

Lorentz-Transformation

Koordinaten $x{\text{'}}^{\mu }={L^{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }$

Ableitung

$\partial {\text{'}}_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x{\text{'}}^{\mu }}=\frac{\partial x{\text{'}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}={{\left(L^{-1}\right)}^{\nu }}_{\mu }{\partial }_{\nu }$

Wellenfunktion (4er Spinor) ${\mathrm{\Psi }}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\underset{\in M^{4x4}}{\underbrace{S}}\mathrm{\Psi }\left(x\right)$

Ruhemasse ist dieselbe $m^{\prime }=m$

Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung

$\gamma {\text{'}}^{\nu }={\gamma }^{\nu }$

---

Also muss gelten

---

$(\mathfrak{i}\gamma {\text{'}}^{\nu }\partial {\text{'}}_{\nu }-m^{\prime }){\mathrm{\Psi }}^{\prime }=0\Rightarrow (\mathfrak{i}{\gamma }^{\nu }{{\left(L^{-1}\right)}^{\mu }}_{\nu }{\partial }_{\mu }-m)S\mathrm{\Psi }=0$

---

Multiplikation von S^-1 von links

Vergleich mit (1.57) ${{\left(L^{-1}\right)}^{\mu }}_{\nu }{S}^{-1}{\gamma }^{\nu }S={\gamma }^{\mu }$

$\Rightarrow S^{-1}{\gamma }^{\alpha }S={L^{\alpha }}_{\mu }{\gamma }^{\mu }$

(1.58)

Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.

• Konstriktion der Matrix S: Für kleine $\beta :=\frac{v}{c}\ll 1$

$S\left(\beta \right)=\underset{\_}{\underset{\_}{1}}+\frac{\beta }{2}{\gamma }^1{\gamma }^0+O\left({\beta }^2\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)+\frac{\beta }{2}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ \end{array}\right)+O\left({\beta }^2\right)$

(1.59)

Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)

$({\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m)\underset{{\tilde{\varphi }}_{-}}{\underbrace{({\gamma }^{\nu }{k}_{\nu }+m)\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 0\\ & u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)}}=0$ $\begin{array}{rl}& -{\tilde{\varphi }}_{-}=-(E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_x\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_x\\ -{\sigma }_x& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ & 0\\ & 0\\ \end{array}\right)-k_y...\\ & =-\left(\begin{array}{rl}& \underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma }\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ & (E+m)\left(\begin{array}{rl}& u_1\\ & u_2\\ \end{array}\right)\\ \end{array}\right)\end{array}$

(1.60)

Berechnung (AUFGABE) ergibt

$S\left(\beta \right)=\cosh \frac{\beta }{2}+\sinh \left(\frac{\beta }{2}\right){\underset{\_}{\underset{\_}{\gamma }}}^1{\underset{\_}{\underset{\_}{\gamma }}}^0$

(1.61)

• Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)

(ViererstromdichteViererstromdichte) $j^{\mu }={\mathrm{\Psi }}^{+}{\gamma }^0{\gamma }^{\mu }\mathrm{\Psi }$

(1.62)

(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung) ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

(1.63)

Lorentz-Invarianz von ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }$:  zeige $\partial {\text{'}}_{\mu }j{\text{'}}^{\mu }=0$ wobei

$\partial {\text{'}}_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x{\text{'}}^{\mu }}=\frac{\partial x{\text{'}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}={{\left(L^{-1}\right)}^{\nu }}_{\mu }{\partial }_{\nu }$

(1.64)

(1.65)

{{{3}}}

$\partial {\text{'}}_{\mu }j{\text{'}}^{\mu }=\underset{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{\underbrace{{{\left(L^{-1}\right)}^{\nu }}_{\mu }{\partial }_{\nu }{L^{\mu }}_{\alpha }}}{j}^{\alpha }={\partial }_{\nu }{j}^{\nu }=0$

 Lorentz-Invarianz von

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }$