Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Wir starten von

i \partial_{t} Ψ = (\underline{a} . \underline{\hat{p}} + β m) Ψ

(1.45)

Kontinuitätsgleichung mit $Ψ^{+}$ (1.45) und (1.45)+ $Ψ$

\begin{matrix} 𝔦 Ψ^{+} \dot{Ψ} = Ψ^{+} (\underline{α} . \hat{\underline{p}} + β m) Ψ \\ - 𝔦 {\dot{Ψ}}^{+} Ψ = {(\underline{p} Ψ)}^{+} \underline{α} Ψ + m Ψ^{+} β Ψ \\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ 𝔦 \partial_{t} \underset{:= ρ}{\underset{⏟}{(Ψ^{+} Ψ)}} = Ψ^{+} \underline{α} (\underline{p} Ψ) - {(\underline{p} Ψ)}^{+} \underline{α} Ψ \\ = - 𝔦 \sum_{k} Ψ^{+} α_{k} (\partial_{k} Ψ) - {(\partial_{k} Ψ)}^{+} α_{k} Ψ \\ = - 𝔦 \sum_{k} \partial_{k} \underset{:= j_{k}}{\underset{⏟}{(Ψ^{+} α_{k} Ψ)}} \end{matrix}

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j_k.

\begin{matrix} ρ := Ψ^{+} Ψ = \sum_{k = 1}^{4} Ψ_{k}^{*} Ψ_{k} \\ \underline{j} = Ψ^{+} \underline{α} Ψ \end{matrix}

(1.46)

(Kontinuitätsgleichung)

\Rightarrow \partial_{t} ρ + \underline{\nabla} \underline{j} = 0

(1.47)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors

Ψ

zusammen.

Lorentz-Invarianz

Umdefinieren der Matrizen ${\underline{\underline{α}}}_{k}, \underline{\underline{β}}$ als

γ^{0} := β = (\begin{matrix} \underline{\underline{1}} & \underline{\underline{0}} \\ \underline{\underline{0}} & - \underline{\underline{1}} \end{matrix}); γ^{k} = β α_{k} = (\begin{matrix} 0 & σ_{k} \\ - σ_{k} & 0 \end{matrix})

(1.48)

\begin{matrix} {(γ^{0})}^{+} = γ^{0}, {(γ^{0})}^{2} = 1 \\ {(γ^{k})}^{+} = - γ^{k}, {(γ^{k})}^{2} = - 1 k \in {1, 2, 3} \\ γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 {g^{μ}}^{ν}, {g^{μ}}^{ν} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1) \end{matrix}

(1.49)

(z.B. $γ^{k} γ^{j} + γ^{j} γ^{k} = β α_{k} β α_{j} + β α_{j} β α_{k} \underset{1.32}{\underset{⏟}{=}} - α_{k} β^{2} α_{j} - α_{j} β^{2} α_{k} = - 2 δ_{j k}$ )

Relativistische Notation

kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben

x^{μ} \leftrightarrow (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) := (c t, x, y, z) = (c t, \underline{x})

(1.50)

kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)

x_{μ} = (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) := (c t, - x, - y, - z) = (c t, - \underline{x})

(1.51)

Das relativistische Skalarprodukt

x_{μ} x^{μ} = \sum_{μ = 0}^{4} x_{μ} x^{μ} = c^{2} t^{2} - {\underline{x}}^{2}

(1.52)

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

Metrischer Tensor
${g_{μ}}_{ν} = {g^{μ}}^{ν} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1)$
in der SRT der selbe überall
Hoch und Runterziehen $x_{μ} = {g_{μ}}_{ν} x^{ν} x^{μ} = {g^{μ}}^{ν} x_{ν}$
Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)

\begin{matrix} c t^{'} = γ c t - γ β x \\ x^{'} = - β γ c t + γ x \end{matrix}

allgemein

x'_{μ} = {L^{μ}}_{ν} x^{ν}

(1.53)

hier mit ${L^{μ}}_{ν} = (\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

Invarianz von $x_{μ} x^{μ}$ unter Lorentz-Transformationen:

x'_{μ} x'^{μ} = {g_{μ}}_{ν} x'^{ν} x'^{μ} = {g_{μ}}_{ν} {L^{ν}}_{α} x^{α} {L^{μ}}_{β} x^{β} = {g_{α}}_{β} x^{α} x^{β} = x_{β} x^{β}

(1.54)

Für Vierervektoren $a^{μ}$ , die sich wie der Koordinatenvektor $x^{μ}$ bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist $a_{μ} a^{μ}$ Lorentz-invariant.

GradientVierergradient (etc)

\begin{matrix} \partial^{ν} = \frac{\partial}{\partial x_{ν}} kontravarianter Vierergradient \\ \partial_{ν} = \frac{\partial}{\partial x^{ν}} kovarianter Vierergradient \end{matrix}

(1.55)

Die Dirac-Gleichung folgt aus

\begin{matrix} (𝔦 \partial_{t} - \underline{α} \frac{1}{𝔦} \underline{\nabla} - β m) Ψ = 0 | \cdot β \\ (𝔦 γ^{0} \underset{\partial_{0}}{\underset{⏟}{\partial_{t}}} + \frac{1}{𝔦} \sum_{k = 1}^{3} γ^{k} \underset{\partial_{k}}{\underset{⏟}{\partial_{x^{k}}}}) Ψ = 0 \end{matrix}

Dirac-Gleichung

(𝔦 γ^{μ} \partial_{μ} - m) Ψ = 0

(1.56)

Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen

Es muss also gelten

(𝔦 γ^{ν} \partial_{ν} - m) Ψ = 0 (in S) (𝔦 γ'^{ν} \partial'_{ν} - m^{'}) Ψ^{'} = 0 (in S^{'})

(1.57)

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)

Lorentz-Transformation

Koordinaten $x'^{μ} = {L^{μ}}_{ν} x^{ν}$

Ableitung

\partial'_{μ} = \frac{\partial}{\partial x'^{μ}} = \frac{\partial x'^{ν}}{\partial x^{μ}} \frac{\partial}{\partial x^{ν}} = {(L^{- 1})}^{ν}_{μ} \partial_{ν}

Wellenfunktion (4er Spinor) $Ψ^{'} (x^{'}) = \underset{\in M^{4 x 4}}{\underset{⏟}{S}} Ψ (x)$

Ruhemasse ist dieselbe $m^{'} = m$

Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung

γ'^{ν} = γ^{ν}

Also muss gelten

(𝔦 γ'^{ν} \partial'_{ν} - m^{'}) Ψ^{'} = 0 \Rightarrow (𝔦 γ^{ν} {(L^{- 1})}^{μ}_{ν} \partial_{μ} - m) S Ψ = 0

Multiplikation von S^-1 von links

Vergleich mit (1.57) ${(L^{- 1})}^{μ}_{ν} S^{- 1} γ^{ν} S = γ^{μ}$

\Rightarrow S^{- 1} γ^{α} S = {L^{α}}_{μ} γ^{μ}

(1.58)

Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.

Konstriktion der Matrix S: Für kleine $β := \frac{v}{c} ≪ 1$

S (β) = \underline{\underline{1}} + \frac{β}{2} γ^{1} γ^{0} + O (β^{2}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) + \frac{β}{2} (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) + O (β^{2})

(1.59)

Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)

(γ^{μ} k_{μ} - m) \underset{{\tilde{ϕ}}_{-}}{\underset{⏟}{(γ^{ν} k_{ν} + m) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix})}} = 0

\begin{matrix} - {\tilde{ϕ}}_{-} = - (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{x} (\begin{matrix} 0 & σ_{x} \\ - σ_{x} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{y} ... \\ = - (\begin{matrix} \underline{k} . \underline{σ} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \\ (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{matrix}

(1.60)

Berechnung (AUFGABE) ergibt

S (β) = \cosh \frac{β}{2} + \sinh (\frac{β}{2}) {\underline{\underline{γ}}}^{1} {\underline{\underline{γ}}}^{0}

(1.61)

Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)

(ViererstromdichteViererstromdichte)

j^{μ} = Ψ^{+} γ^{0} γ^{μ} Ψ

(1.62)

(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung)

\partial_{μ} j^{μ} = 0

(1.63)

Lorentz-Invarianz von $\partial_{μ} j^{μ}$ :  zeige $\partial'_{μ} j'^{μ} = 0$ wobei

\partial'_{μ} = \frac{\partial}{\partial x'^{μ}} = \frac{\partial x'^{ν}}{\partial x^{μ}} \frac{\partial}{\partial x^{ν}} = {(L^{- 1})}^{ν}_{μ} \partial_{ν}

(1.64)

(1.65)

{{{3}}}

\partial'_{μ} j'^{μ} = \underset{{δ^{ν}}_{α}}{\underset{⏟}{{(L^{- 1})}^{ν}_{μ} \partial_{ν} {L^{μ}}_{α}}} j^{α} = \partial_{ν} j^{ν} = 0

→ Lorentz-Invarianz von

\partial_{μ} j^{μ}

Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Relativistische Notation

Lorentz-Transformation

Navigationsmenü

Suche