SchwingendeRollendeWagen

Das im Bild dargestellte System besteht aus zwei Wagen mit einer Feder.

Schwingende-rollende-Wagen

Für t < 0 befindet sich das System unter Wirkung der Kraft $F=1,3kN$ im Gleichgewicht, die die Feder mit der Federsteifigkeit $k=2500N/m$ ist zusammengedrückt. Für $t=0$ wird die Kraft F plötzlich entfernt und die Wagen setzen sich in Bewegung. Die Masse des Wagens A ist gegeben mit $m_A=1,2kg$ und die von B mit $m_B=0,6kg$.

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_B$, mit der sich der Wagen B nach dem Ablösen von A bewegt.

Lösung

Verwendete Formeln: Auflösung von Federkraft und Energieerhaltung nach x und v Mathematica Rechnung:

N[F] = 1300; N@k = 2500; N@mA = 1.2; N@mB = 0.6; v =.; x =.

{x, v} = {x, v} /. 

  Solve[{k x == F, 1/2 k x^2 == 1/2 (mA + mB) v^2}, {v, x}][[2]]

N@v

Zahlenwert:19.3793 in m/s

b) Wagen B prallt zentral auf einen ruhenden Wagen C der Masse mC = 1 kg. Wagen B kommt komplett zum stehen (inelastischer Stoß). Wie schnell fährt Wagen C?

Lösung

Verwendete Formeln: Impulserhaltung Mathematica Rechnung:

N@mC = 1; v2 =.

v2 = v2 /. Solve[mB v == mC v2, v2][[1]]

N@v2

Zahlenwert:11.6276 in m/s

c) Geben Sie die Differentialgleichung an, mit der der Wagen A harmonisch schwingt. (Beachten Sie, dass der Wagen B sich abgelöst hat.)

Lösung

Verwendete Formeln: $m\dot{\dot{x}}=-kx$

d) Mit welcher Frequenz schwingt der Wagen A nach dem Ablösen?

Lösung

Verwendete Formeln: es handelt sich um ein Federpendel Mathematica Rechnung:

Clear[x];

DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
N[Sqrt[k/mA]]

Zahlenwert:45.6435 in 1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet $x(t)\to c_2\sin \left(\frac{\sqrt{k}t}{\sqrt{m_A}}\right)+c_1\cos \left(\frac{\sqrt{k}t}{\sqrt{m_A}}\right)$ Die Kreisfrequenz ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch 2 /pi teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (11.4109)

e) Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m =15 s^(-1) gebremst würde.

Lösung

Verwendete Formeln: Mathematica Rechnung:

r =.;
DSolve[mA x''[t] == -k x[t] - r x'[t], x[t], t]
N@\[Beta] = 15;
r = \[Beta] 2 mA
N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))

Zahlenwert:43.1084 in 1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}} . $\nu =6.86091\frac{1}{s}$

Fakten zur Klausuraufgabe SchwingendeRollendeWagen

Quellen

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• Punkte: 10
• Tutorium:

Semantische Daten

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