Klein Gordon Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

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Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form

$\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)={\left(2\pi \right)}^{-{}^d╱{}_2}\int \phi \left(\underset{\_}{k}\right)e^{-\mathfrak{i}\omega \left(\underset{\_}{k}\right)t+\mathfrak{i}\underset{\_}{k}.\underset{\_}{x}}{d}^d\underset{\_}{k}$

((1.1))

wobei d die Raumdimension angibt.

Nach Schrödinger (nicht relativistisch) $\omega \left(\underset{\_}{k}\right)=\frac{k^2}{2m}\text{mit }\hslash =1$

((1.2))

was auf die Schrödingergleichung

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi },\hat{H}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{2m}$

((1.3))

führt.

Relativistisch (SRT) gilt

$\omega \left(\underset{\_}{k}\right)=\sqrt{{\underset{\_}{k}}^2+m^2}$

((1.4))

wegen $E=\sqrt{m^2{c}^4+{\underset{\_}{p}}^2{c}^2}$ und $\underset{\_}{p}=\hslash k$.

Ab jetzt gilt $c=1$.

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung $(\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta }+m^2)\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)=0$

((1.5))

Es gilt die (AUFGABE)

KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung ${\partial }_t\rho +\mathrm{\nabla }.\underset{\_}{j}=0$

((1.6))

mit

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i}m}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})\\ & \rho \equiv \frac{1}{2m}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\partial }_t\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }_t{\mathrm{\Psi }}^{*})\\ \end{array}$

((1.7))

Dabei ist die Stromdichte ($\underset{\_}{j}$) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt $\begin{array}{rl}& \int \rho (\underset{\_}{x},t)d^d\underset{\_}{x}={\left(\frac{1}{2\pi }\right)}^d\frac{1}{m}\int \int \int {\phi }^{*}\left(\underset{\_}{k}\right)\phi \left({{\underset{\_}{k}}^{\prime }}^{\prime }\right)e^{i(\underset{\_}{k}-{{\underset{\_}{k}}^{\prime }}^{\prime })\underset{\_}{x}}\omega \left({{\underset{\_}{k}}^{\prime }}^{\prime }\right)d^{d}x{d}^{d}k{d}^d{k^{\prime }}^{\prime }\\ & =\frac{1}{m}\int \omega \left(\underset{\_}{k}\right){\left|\phi \left(\underset{\_}{k}\right)\right|}^2{d}^d\underset{\_}{k}>0\end{array}$ für$\omega \left(\underset{\_}{k}\right)>0$. Diskurssion:

• Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung$(\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta })\mathrm{\Psi }=0$.
• Auch ein Wellenpaket mit $\omega \left(\underset{\_}{k}\right)=-\sqrt{{\underset{\_}{k}}^2+m^2}$erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
• Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem ($\mathrm{\Psi }(t=0)\Rightarrow \mathrm{\Psi }(t>0)$) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von${\partial }_t\mathrm{\Psi }{|}_{t=0}$.
• Schreibweise

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\mathrm{\Psi }=0$

((1.8))

mit $\frac{\hslash }{mc}$der Compton-WellenlängeCompton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist $◻={\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=c^{-2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta }$ der d’Alambert-Operatord’Alambert-Operator.

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG