Klein Gordon Gleichung

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Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form

     ((1.1))
wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch)      ((1.2))
was auf die Schrödingergleichung
     ((1.3))
führt.

Relativistisch (SRT) gilt

     ((1.4))
wegen und .

Ab jetzt gilt .

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung
     ((1.5))


Es gilt die (AUFGABE)

Kontinuitätsgleichung      ((1.6))
mit
     ((1.7))


Dabei ist die Stromdichte () wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt

für.

Diskurssion:

  • Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung.
  • Auch ein Wellenpaket mit erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
  • Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem () nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von.
  • Schreibweise
     ((1.8))

mit der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist der d’Alambert-Operator.


Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG

Schöll-Script

Siehe auch

Klein-Gordon-Gleichung