Übersicht:Thermodynamik

klassische Mechanik

• Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik

--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten

• Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
• Lösungen Trajektorien im Phasenraum

Satz von Liouville

Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung --> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen --> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen $I(t_{1})\geq I(t_{2})$ mit $t_{1}<t_{2}$

Zustand

$\left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle =\int {d\xi \rho \left(\xi \right){{M}^{\nu }}\left(\xi \right)}$ (thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen $\rho \left(\xi \right)=\exp \left(\psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left(\xi \right)\right)={{z}^{-1}}\exp \left(-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left(\xi \right)\right)$ mit $z={{\operatorname {e} }^{-\psi }}=\int {{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left(\xi \right)}}d\xi }$

Shannon-Information

$I\left(P\right)=\sum \limits _{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}\leq 0$ Information: Welches Ereignis tritt ein? Wie viel weiß ich von meinem System Maximum$I\left(P\right)=0$ --> schafte Verteilung${{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}$

Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- >$I\left(P\right)<0$ Variation der P_i um$\delta {{P}_{i}}$mit 1 Nebendbedingung$\sum \limits _{i}{{P}_{i}}=1$ führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters$\lambda =-\left(\psi +1\right)$ zu

$I\left(P\right)=\sum {{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left({{P}_{i}}-1\right)}$

die Variation$\delta I\left(P\right)=\sum {\left(\ln {{P}_{i}}+1\right)\delta {{P}_{i}}}$ Also Wahl der N-m-1 freien Parameter möglich durch$0=\sum {\left(\ln {{P}_{i}}-\psi +{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu }\right)\delta {{P}_{i}}}$ so erhält man die verallgemeinerte kanonische Verteilung

${{P}_{i}}=\exp \left(\psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu }\right)$

$\ln \left({{P}_{i}}\right)=-\left(\lambda +1\right)=const$ für Gleichverteilung${{P}_{i}}={\frac {1}{N}}$

durch eine Legendere trafp $I\left(P\right)\to I\left(\lambda \right)$