Quelltext der Seite Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|5}}</noinclude>

Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}</math>

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

:<math>U(t,0)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t \right)}^{n}}</math>

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}</math>

Da H hermitesch ist, muss U(t,0)  ein unitärer Operator sein!

Klar: <math>\begin{align}

& {{H}^{+}}=H \\

& \Rightarrow {{U}^{+}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{{\hat{H}}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1 \\

\end{align}</math>

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

:<math>{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{H}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}</math>

Mit der formalen Lösung:
:<math>{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{0}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)</math>

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über <math>\bar{A}(t)</math>
ergibt sich für
:<math>\hat{F}=\hat{F}\left( \hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}},t \right)</math>
:
:<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle ={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}+\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}} \right)\frac{d}{dt}\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{F}\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right) \\
& \left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}} \right)=-\frac{1}{i\hbar }{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{H} \\
& \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>

'''Also:'''
:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
:<math>\left[ \hat{H},\hat{F} \right]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =0</math>

<u>'''Klassisches Analogon:  Poisson- Klammern'''</u>
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math>
eine klassische Observable und <math>H(\bar{q},\bar{p})</math>
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)} \\
& \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\left\{ H,F \right\} \\
\end{align}</math>

'''Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:'''
:<math>\left\{ H,F \right\}\to \frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>

Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math>
" als Operator:
:<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>

'''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>,
 da im Allgemeinen:
:<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math>

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
:<math>\left\langle \hat{F}{}^\circ  \right\rangle =\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle </math>

'''Speziell gilt, '''analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
:<math>\begin{align}
& \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{r}} \right] \\
& \hat{\bar{p}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{p}} \right] \\
\end{align}</math>

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
:<math>\begin{align}
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\
\end{align}</math>

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>

folgt:
:<math>\begin{align}
& \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}} \\
& \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}} \\
\end{align}</math>

Also:
:<math>\begin{align}
& \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m} \\
& \hat{\bar{p}}{}^\circ =-\nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \\
\end{align}</math>

Denn:
:<math>\begin{align}
& \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{x}}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{{\hat{x}}}^{\circ }}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{{\hat{p}}}{m} \\ 

& \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}}\Rightarrow {{{\hat{p}}}^{\circ }}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\nabla V\left( {\hat{x}} \right) \\
\end{align}</math>

Merke:
:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{r}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle  \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{p}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\frac{1}{m}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle  \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =-\left\langle \nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \right\rangle  \\
\end{align}</math>

da ja: <math>\begin{align}
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\
\end{align}</math>

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
====Bilder====
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
:<math>\begin{align}
& \left| \Psi  \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi  \right\rangle  \\
& \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\
\end{align}</math>

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>,
 also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
=====Schrödingerbild:=====
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math>
zeitunabhängig
Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>
:

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
Im <math>{{R}^{2}}</math>
entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math>
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}</math>

=====Das Heisenbergbild=====
:<math>\begin{align}
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}} \\
& {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\
\end{align}</math>

In diesem Bild sind die
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{H}}(t)</math>
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi  \right\rangle ={{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}</math>
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>
:
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
Aus
:<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>

folgt:
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>

Also:
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>
(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
:<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>

Insbesondere gilt:
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0</math>

also die bildunabhängige Darstellung
:<math>{{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}</math>

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
=====Wechselwirkungsbild=====
Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>
und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>.

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
:<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math>

Somit gilt wieder die Relation
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>

Also:
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math>

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math>
bildunabhängig.
Aber:
:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math>
im Allgemeinen
:<math>\begin{align}
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
& {{\left\langle  \Psi  \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle  \Psi  \right|}_{W}} \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle  \Psi  \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
:<math>\begin{align}
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
& \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \right) \\
& wegen \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

Aber:
:<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math>

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math>
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>

und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>.