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| <math>\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)</math> | | :<math>\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)</math> |
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| <math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math> | | :<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \bar{E}(\bar{q},t)=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{q},t) \\ | | & \bar{E}(\bar{q},t)=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{q},t) \\ |
| & \bar{B}(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{q},t) \\ | | & \bar{B}(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{q},t) \\ |
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| Die Bewegungsgleichung | | Die Bewegungsgleichung |
| <math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math> | | :<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math> |
| ergeben. | | ergeben. |
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| <math>L(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)</math> | | :<math>L(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)</math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}} \\ | | & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}} \\ |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t) \\ | | & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t) \\ |
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right]</math> | | :<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right]</math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & 0=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right)-e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right] \\ | | & 0=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right)-e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right] \\ |
| & =m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right)+e\left[ -\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right] \\ | | & =m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right)+e\left[ -\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right] \\ |
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| Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion | | Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der {{FB|Eichfunktion}} |
| <math>\chi </math> | | :<math>\chi </math>: |
| : | |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \bar{A}(\bar{q},t)\to \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \\ | | & \bar{A}(\bar{q},t)\to \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \\ |
| & \Phi (\bar{q},t)\to \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)=\Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \\ | | & \Phi (\bar{q},t)\to \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)=\Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \\ |
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| Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern: | | Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \bar{E}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \left( \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{E}(\bar{q},t) \\ | | & \bar{E}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \left( \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{E}(\bar{q},t) \\ |
| & \bar{B}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{B}(\bar{q},t) \\ | | & \bar{B}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{B}(\bar{q},t) \\ |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)-\Phi \acute{\ }(\bar{q},t) \right) \\ | | & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)-\Phi \acute{\ }(\bar{q},t) \right) \\ |
| & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi -\Phi (\bar{q},t)+\dot{\chi } \right) \\ | | & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi -\Phi (\bar{q},t)+\dot{\chi } \right) \\ |
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| Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L. | | Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L. |
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| Die Eichtransformation | | {{Def|Die Eichtransformation |
| | | :<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> |
| | | mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.|Eichtransformation}} |
| <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> | |
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| Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
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| Allgemein gilt: | | Allgemein gilt: |
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| Sei | | Sei <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> beliebig und |
| <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> | | :<math>\begin{align} |
| beliebig | |
| | |
| und | |
| <math>\begin{align} | |
| & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\ | | & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\ |
| & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \\ | | & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \\ |
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| <math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math> | | :<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math> |
| das hamiltonsche Prinzip | | das hamiltonsche Prinzip |
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| <math>\delta \int{L\acute{\ }dt=0\Leftrightarrow \delta \int{Ldt=0}}</math> | | :<math>\delta \int{L\acute{\ }dt=0\Leftrightarrow \delta \int{Ldt=0}}</math> |
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| Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art | | Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art |
| | | :<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> mit <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> |
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| <math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> | |
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| | |
| mit | |
| <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> | |
| beliebig. | | beliebig. |
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| '''Beweis:''' | | '''Beweis:''' |
| | | :<math>\begin{align} |
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| <math>\begin{align} | |
| & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\ | | & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\ |
| & =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ | | & =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math> |
| | |
| | |
| mit | |
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math> | |
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| <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> | | :<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> |
| darf nicht explizit von | | darf nicht explizit von |
| <math>{{\dot{q}}_{k}}</math> | | :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math> |
| abhängen. | | abhängen. |
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| <math>L=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}</math> | | :<math>L=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}</math> |
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| Beispielhafte Eichfunktion: | | Beispielhafte Eichfunktion: |
| | | :<math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math> |
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| <math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math> | |
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| <math>L\acute{\ }=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}\left( {{q}^{2}}-2q\dot{q} \right)</math> | | :<math>L\acute{\ }=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}\left( {{q}^{2}}-2q\dot{q} \right)</math> |
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| Die Lagrangegleichungen lauten: | | Die Lagrangegleichungen lauten: |
| | | :<math>\begin{align} |
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| <math>\begin{align} | |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ | | & \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ |
| & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ | | & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\ |
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| Es folgt als Bewegungsgleichung | | Es folgt als Bewegungsgleichung |
| | | :<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}} |
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| <math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}} | |
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| ==Forminvarianz der Lagrangegleichung==
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| Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.
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| Dabei gilt als Forminvarianz:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>
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| | |
| Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten
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| <math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
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| sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?
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| Satz:
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| Sei
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| <math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
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| ein C²- Diffeomorphismus,
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| also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind
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| <math>F,{{F}^{-1}}</math>
| |
| beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist
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| | |
| <math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
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| Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:
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| <math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math>
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| | |
| mit
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
| |
| & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:
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| <math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
| |
| sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
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| <math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>
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| '''Beweis:'''
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math>
| |
| wegen
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
| |
| & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Nun:
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| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
| |
| & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| und auf der anderen Seite:
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| | |
| <math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>
| |
| | |
| | |
| Somit:
| |
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
| |
| & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei bildet
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| <math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
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| die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
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| <math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>
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| Daher die Bedingung, dass
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| Sei
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| <math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
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| ein C²- Diffeomorphismus,
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| also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und
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| <math>F,{{F}^{-1}}</math>
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| beide zweimal stetig differenzierbar.
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| Nur dann ist
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| <math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
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| Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.
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| Denn diese Aussage ist äquivalent zu
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| <math>\begin{align}
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| & {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\
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| & {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\
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| \end{align}</math>
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| Man sagt, die Variationsableitung
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
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| ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten
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| Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion
Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.
Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:
e sei die Ladung
Bewegungsgleichung:
Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ
Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:
Dabei ist Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)
Ziel: Suche eine Lagrangefunktion in der Art, dass
Die Bewegungsgleichung
ergeben.
Ansatz:
Probe:
Weiter:
Somit:
Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen
Eichtransformationen
Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion
- :
Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:
Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:
Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.
Die Eichtransformation
mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.
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Allgemein gilt:
Sei beliebig und
dann erfüllen die
das hamiltonsche Prinzip
Also:
Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
- mit
beliebig.
Beweis:
- mit
Einzige Nebenbedingung:
darf nicht explizit von
abhängen.
Beispiel: eindimensionaler Oszi
Beispielhafte Eichfunktion:
Die Lagrangegleichungen lauten:
Es folgt als Bewegungsgleichung
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