Klein Gordon Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Klein Gordon Gleichung

Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{\left(2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}}\int {\varphi \left({\underline {k}}\right){{e}^{-{\mathfrak {i}}\omega \left({\underline {k}}\right)t+{\mathfrak {i}}{\underline {k}}.{\underline {x}}}}{{d}^{d}}{\underline {k}}}$

((1.1))

wobei d die Raumdimension angibt.

Nach Schrödinger (nicht relativistisch) $\omega \left({\underline {k}}\right)={\frac {{k}^{2}}{2m}}\quad {\text{mit }}\hbar =1$

((1.2))

was auf die Schrödingergleichung

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi ,\quad {\hat {H}}=-{\frac {\Delta }{2m}}$

((1.3))

führt.

Relativistisch (SRT) gilt

$\omega \left({\underline {k}}\right)={\sqrt {{{\underline {k}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$

((1.4))

wegen $E={\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{\underline {p}}^{2}}{{c}^{2}}}}$ und ${\underline {p}}=\hbar k$.

Ab jetzt gilt $c=1$.

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung $\left(\partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}}\right)\Psi \left({\underline {x}},t\right)=0$

((1.5))

Es gilt die (AUFGABE)

Kontinuitätsgleichung ${{\partial }_{t}}\rho +\nabla .{\underline {j}}=0$

((1.6))

mit

${\begin{aligned}&{\underline {j}}={\frac {1}{2{\mathfrak {i}}m}}\left({{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}}\right)\\&\rho \equiv {\frac {1}{2m}}\left({{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}}\right)\\\end{aligned}}$

((1.7))

Dabei ist die Stromdichte (${\underline {j}}$) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt

${\begin{aligned}&\int {\rho \left({\underline {x}},t\right){{d}^{d}}{\underline {x}}}={{\left({\frac {1}{2\pi }}\right)}^{d}}{\frac {1}{m}}\int {\int {\int {{{\varphi }^{*}}\left({\underline {k}}\right)\varphi \left({{\underline {k}}'}\right){{e}^{i\left({\underline {k}}-{\underline {k}}'\right){\underline {x}}}}\omega \left({{\underline {k}}'}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'}\\&={\frac {1}{m}}\int {\omega \left({\underline {k}}\right){{\left|\varphi \left({\underline {k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}{\underline {k}}}>0\end{aligned}}$ für$\omega \left({\underline {k}}\right)>0$.

Diskurssion:

• Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung$\left(\partial _{t}^{2}-\Delta \right)\Psi =0$.
• Auch ein Wellenpaket mit $\omega \left({\underline {k}}\right)=-{\sqrt {{{\underline {k}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
• Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem ($\Psi \left(t=0\right)\Rightarrow \Psi \left(t>0\right)$) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von${{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}$.
• Schreibweise

$\left(\square +{\frac {{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{\hbar }^{2}}}\right)\Psi =0$

((1.8))

mit ${\frac {\hbar }{mc}}$der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist $\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ der d’Alambert-Operator.

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG