Klein Gordon Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Klein Gordon Gleichung

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG

Ein quantenmechanisches WellenpaketWellenpaket hat die Form

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{\left(2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}}\int {\varphi \left({\underline {k}}\right){{e}^{-{\mathfrak {i}}\omega \left({\underline {k}}\right)t+{\mathfrak {i}}{\underline {k}}.{\underline {x}}}}{{d}^{d}}{\underline {k}}}$

((1.1))

wobei d die Raumdimension angibt.

Nach Schrödinger (nicht relativistisch) $\omega \left({\underline {k}}\right)={\frac {{k}^{2}}{2m}}\quad {\text{mit }}\hbar =1$

((1.2))

was auf die SchrödingergleichungSchrödingergleichung:freies Teilchen

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi ,\quad {\hat {H}}=-{\frac {\Delta }{2m}}$

((1.3))

führt.

Relativistisch (SRT) gilt

$\omega \left({\underline {k}}\right)={\sqrt {{{\underline {k}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$

((1.4))

wegen $E={\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{\underline {p}}^{2}}{{c}^{2}}}}$ und ${\underline {p}}=\hbar k$.

Ab jetzt gilt $c=1$.

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung $\left(\partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}}\right)\Psi \left({\underline {x}},t\right)=0$

((1.5))

Es gilt die (AUFGABE)

KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung ${{\partial }_{t}}\rho +\nabla .{\underline {j}}=0$

((1.6))

mit

${\begin{aligned}&{\underline {j}}={\frac {1}{2{\mathfrak {i}}m}}\left({{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}}\right)\\&\rho \equiv {\frac {1}{2m}}\left({{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}}\right)\\\end{aligned}}$

((1.7))

Dabei ist die Stromdichte (${\underline {j}}$) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt ${\begin{aligned}&\int {\rho \left({\underline {x}},t\right){{d}^{d}}{\underline {x}}}={{\left({\frac {1}{2\pi }}\right)}^{d}}{\frac {1}{m}}\int {\int {\int {{{\varphi }^{*}}\left({\underline {k}}\right)\varphi \left({{\underline {k}}'}\right){{e}^{i\left({\underline {k}}-{\underline {k}}'\right){\underline {x}}}}\omega \left({{\underline {k}}'}\right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'}\\&={\frac {1}{m}}\int {\omega \left({\underline {k}}\right){{\left|\varphi \left({\underline {k}}\right)\right|}^{2}}{{d}^{d}}{\underline {k}}}>0\end{aligned}}$ für$\omega \left({\underline {k}}\right)>0$. Diskurssion:

• Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung$\left(\partial _{t}^{2}-\Delta \right)\Psi =0$.
• Auch ein Wellenpaket mit $\omega \left({\underline {k}}\right)=-{\sqrt {{{\underline {k}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
• Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem ($\Psi \left(t=0\right)\Rightarrow \Psi \left(t>0\right)$) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von${{\partial }_{t}}\Psi {{|}_{t=0}}$.
• Schreibweise

$\left(\square +{\frac {{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{\hbar }^{2}}}\right)\Psi =0$

((1.8))

mit ${\frac {\hbar }{mc}}$der Compton-WellenlängeCompton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist $\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ der d’Alambert-Operatord’Alambert-Operator.