|
|
Zeile 25: |
Zeile 25: |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
|
| |
|
| mit der Wahrscheinlichkeitsdichte{{FB|Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte{{FB|Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} j<sub>k.</sub> | | mit der {{FB|Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der {{FB|Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} j<sub>k.</sub> |
|
| |
|
| {{NumBlk|:| | | {{NumBlk|:| |
Zeile 45: |
Zeile 45: |
| : |(1.47)|RawN=.}} | | : |(1.47)|RawN=.}} |
|
| |
|
| Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors <math>\Psi </math>zusammen. | | Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors <math>\Psi </math> zusammen. |
|
| |
|
| *# Lorentz-Invarianz | | *# Lorentz-Invarianz |
Zeile 257: |
Zeile 257: |
| Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…) | | Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…) |
|
| |
|
| {{NumBlk|:| <math>S\left( \beta \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop \lim }\,{{\left( \underline{\underline{1}}+\frac{1}{2}\frac{\beta }{N}{{{\underline{\underline{\gamma }}}}^{1}}{{{\underline{\underline{\gamma }}}}^{0}} \right)}^{N}}={{e}^{\frac{\beta }{2}{{{\underline{\underline{\gamma }}}}^{1}}{{{\underline{\underline{\gamma }}}}^{0}}}}</math> | | {{NumBlk|:| |
| | <math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | & {{u}_{1}} \\ |
| | |
| | & {{u}_{2}} \\ |
| | |
| | \end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math> |
| | |
| | <math>\begin{align} |
| | |
| | & -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align} |
| | |
| | & {{u}_{1}} \\ |
| | |
| | & {{u}_{2}} \\ |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | \end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix} |
| | |
| | 0 & {{\sigma }_{x}} \\ |
| | |
| | -{{\sigma }_{x}} & 0 \\ |
| | |
| | \end{matrix} \right)\left( \begin{align} |
| | |
| | & {{u}_{1}} \\ |
| | |
| | & {{u}_{2}} \\ |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | & 0 \\ |
| | |
| | \end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\ |
| | |
| | & =-\left( \begin{align} |
| | |
| | & \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align} |
| | |
| | & {{u}_{1}} \\ |
| | |
| | & {{u}_{2}} \\ |
| | |
| | \end{align} \right) \\ |
| | |
| | & \left( E+m \right)\left( \begin{align} |
| | |
| | & {{u}_{1}} \\ |
| | |
| | & {{u}_{2}} \\ |
| | |
| | \end{align} \right) \\ |
| | |
| | \end{align} \right) |
| | |
| | \end{align}</math> |
|
| |
|
| |(1.60)|RawN=.}} | | |(1.60)|RawN=.}} |
Quantenmechanikvorlesung von Brandes
Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung |
|
|
|
|
|
Wir starten von
|
|
|
(1.45)
|
- Kontinuitätsgleichung mit (1.45) und (1.45)+
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte jk.
|
|
|
(1.46)
|
(Kontinuitätsgleichung)
|
|
|
(1.47)
|
Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors zusammen.
Umdefinieren der Matrizen als
|
|
|
(1.48)
|
|
|
|
(1.49)
|
(z.B. )
Relativistische Notation:
kontravarianter VierervektorVierervektor mit Index oben
|
|
|
(1.50)
|
kovarianter Vierervektor mit Index unten (kow steht below)
|
|
|
(1.51)
|
- Das relativistische Skalarprodukt
|
|
|
(1.52)
|
bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.
- Metrischer Tensor
- in der SRT der selbe überall
- Hoch und Runterziehen
- Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)
allgemein
|
|
|
(1.53)
|
hier mit .
- Invarianz von unter Lorentz-Transformationen:
|
|
|
(1.54)
|
Für Vierervektoren, die sich wie der Koordinatenvektor bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist Lorentz-invariant.
GradientVierergradient (etc)
|
|
|
(1.55)
|
Die Dirac-Gleichung folgt aus
Dirac-Gleichung
|
|
|
(1.56)
|
- Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten
|
|
|
(1.57)
|
(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)
Lorentz-Transformation
Koordinaten
Ableitung
Wellenfunktion (4er Spinor)
Ruhemasse ist dieselbe
Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung
Also muss gelten
Multiplikation von S-1 von links
Vergleich mit (1.57)
|
|
|
(1.58)
|
Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.
- Konstriktion der Matrix S: Für kleine
|
|
|
(1.59)
|
Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)
|
|
|
(1.60)
|
Berechnung (AUFGABE) ergibt
|
|
|
(1.61)
|
- Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)
(ViererstromdichteViererstromdichte)
|
|
|
(1.62)
|
(KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung)
|
|
|
(1.63)
|
Lorentz-Invarianz von : zeige wobei
|
|
|
(1.64)
|
Lorentz-Invarianz von