Magnetische Multipole

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetische Multipole basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(stationär)

Ausgangspunkt ist

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

(mit der Coulomb- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=0$)

mit den Randbedingungen

$\overline{A}(\overline{r})\to 0$ für r→ unendlich

Taylorentwicklung nach

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

von analog zum elektrischen Fall:

Die Stromverteilung $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ sei stationär für $r>>r\stackrel{´}{}$

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+\mathrm{...}$

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})+\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+\mathrm{...}$

Monopol- Term

Mit

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=x_k\stackrel{´}{}({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))+\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)=j_l{\delta }_{kl}=j_k$

Mit ${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=j_k$ folgt dann:

${\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{j}_k(\overline{r}\stackrel{´}{})={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}[x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Dipol- Term

mit $[\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\times \overline{r}=\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}-\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}=2\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}-[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]$ und mit

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)+x_{k\stackrel{´}{}}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}=0\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)]\\ \end{array}$

Folgt:

${\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]={\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)]=0$

Da

${\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=0$

weil der Strom verschwindet! Somit gibt der Term

$[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]$

keinen Beitrag zum

$\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})$

Also:

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\frac{1}{2}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))\times \overline{r}$

Als Dipolpotenzial!!

$\begin{array}{cc}& \overline{A}(\overline{r}):=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\overline{m}\times \overline{r}\\ & \overline{m}=\frac{1}{2}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))\\ \end{array}$

das magnetische Dipolmoment!

Analog zu

$\begin{array}{cc}& \Phi (\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}\overline{p}\cdot \overline{r}\\ & \overline{p}:={\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

dem elektrischen Dipolmoment

Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:

$\overline{B}(\overline{r}):=\mathrm{\nabla }\times \frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\overline{m}\times \overline{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^5}[3(\overline{m}\cdot \overline{r})\overline{r}-r^2\overline{m}]$

Wegen:

$\mathrm{\nabla }\times (\overline{a}\times \overline{b})=(\overline{b}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{a}-(\overline{a}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{b}+\overline{a}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{b})-\overline{b}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{a})$ mit $\begin{array}{cc}& \overline{a}=\frac{\overline{m}}{r^3}\\ & \overline{b}=\overline{r}\\ & \Rightarrow div\overline{a}=-3\frac{\overline{m}\cdot \overline{r}}{r^5}\\ & div\overline{b}=3\\ & (\overline{b}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{a}=-3\frac{\overline{m}\cdot r^2}{r^5}\\ & (\overline{a}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{b}=\frac{\overline{m}}{r^3}\\ \end{array}$

Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:

$\overline{E}(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^5}[3(\overline{p}\cdot \overline{r})-r^2\overline{p}]$

Beispiel: Ebene Leiterschleife L: $\begin{array}{cc}& d\overline{f}\stackrel{´}{}=\frac{1}{2}\overline{r}\stackrel{´}{}\times d\overline{s}\stackrel{´}{}\\ & d^3\overline{r}\stackrel{´}{}j(\overline{r}\stackrel{´}{})=d\overline{s}\stackrel{´}{}I\\ \end{array}$ Mit I = Strom durch den Leiter $\Rightarrow \overline{m}=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))=\frac{I}{2}\underset{L}{\oint }\overline{r}\stackrel{´}{}\times d\overline{s}\stackrel{´}{}=I{\int }_F^{}d\overline{f}\stackrel{´}{}=IF\overline{n}$ Dabei ist $\overline{n}$ die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment $\overline{m}$

analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment

$\overline{p}=q\overline{a}$,

welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.

Bewegte Ladungen

N Teilchen mit den Massen m_i und den Ladungen q_i bewegen sich.

Dabei sei die spezifische Ladung $\frac{q_i}{m_i}=\frac{q}{m}$ konstant:

$\begin{array}{cc}& \rho (\overline{r})=\sum _i{q}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & \overline{j}(\overline{r})=\sum _i{q}_i{\overline{v}}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & {\overline{v}}_i=\frac{d{\overline{r}}_i}{dt}\\ \end{array}$

Das magnetische Dipolmoment beträgt:

$\begin{array}{cc}& \overline{m}=\frac{1}{2}\underset{L}{\oint }{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))=\frac{1}{2}\sum _i{q}_i{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\times {\overline{v}}_i\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_i)=\frac{1}{2}\sum _i{q}_i{\overline{r}}_i\times {\overline{v}}_i=\frac{1}{2}\sum _i\frac{q_i}{m_i}{m}_i{\overline{r}}_i\times {\overline{v}}_i\\ & \frac{q_i}{m_i}=\frac{q}{m}\\ & \Rightarrow \overline{m}=\frac{q}{2m}\overline{L}\\ \end{array}$

Mit dem Bahndrehimpuls $\overline{L}$:

$\overline{m}=\frac{q}{2m}\overline{L}$

gilt aber auch für starre Körper!

• Allgemeines Gesetz!

Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons!!!

$\begin{array}{cc}& \overline{m}=g\frac{e}{2m}\overline{S}\\ & g\approx 2\\ \end{array}$

Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!

Kraft auf eine Stromverteilung

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})={\rho }_i(\overline{r}\stackrel{´}{})\overline{v}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

im Feld einer externen magnetischen Induktion $\overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})$:

Spürt die Lorentzkraft

$\overline{F}={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})$

Talyorentwicklung liefert:

$\begin{array}{cc}& \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})=\overline{B}(\overline{r})+\left[(\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{r})\mathrm{\nabla }\right]\overline{B}(\overline{r})+\mathrm{....}\\ & \Rightarrow \overline{F}=[{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]\times \overline{B}(\overline{r}\stackrel{´}{})+{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[(\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{r})\mathrm{\nabla }\right]\overline{B}(\overline{r})+\mathrm{...}\\ \end{array}$

im stationären Fall gilt wieder:

$[{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$ (keine Monopole)

Also:

$\begin{array}{cc}& \overline{F}={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})-{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})\\ & {\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})=0,da{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0\\ & \Rightarrow \overline{F}={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})\\ & \left[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_r\right]\overline{B}(\overline{r})={\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]-\overline{r}\stackrel{´}{}\times [{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}(\overline{r})]\\ \end{array}$

Man fordert:

$[{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{B}(\overline{r})]=0$

(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ haben:

$\begin{array}{cc}& \overline{F}={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times {\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]\\ & \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\times {\mathrm{\nabla }}_r[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]=-{\mathrm{\nabla }}_r\times [(\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r}))\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]+[\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r})]{\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0\\ & \Rightarrow \overline{F}=-{\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\times [(\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\cdot \overline{B}(\overline{r}))\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=-{\mathrm{\nabla }}_r\times (\overline{m}\times \overline{B}(\overline{r}))\\ & \overline{F}=-{\mathrm{\nabla }}_r\times (\overline{m}\times \overline{B}(\overline{r}))=(\overline{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r)\overline{B}(\overline{r})=-{\mathrm{\nabla }}_r(-\overline{m}\cdot \overline{B}(\overline{r}))\\ \end{array}$

(Vergl. S. 34)