Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Magnetische Multipole basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
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Ausgangspunkt ist
A ¯ ( r ¯ ) = μ 0 4 π ∫ R 3 d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) | r ¯ − r ¯ ´ | (mit der Coulomb- Eichung ∇ ⋅ A ¯ ( r ¯ ) = 0
A ¯ ( r ¯ ) → 0 Taylorentwicklung nach
1 | r ¯ − r ¯ ´ | von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung j ¯ ( r ¯ ´ ) r > > r ´
1 | r ¯ − r ¯ ´ | = 1 r + 1 r 3 ( r ¯ ⋅ r ¯ ´ ) + ... A ¯ ( r ¯ ) = μ 0 4 π r ∫ R 3 d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) + μ 0 4 π r 3 ∫ R 3 d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ( r ¯ ⋅ r ¯ ´ ) + ...
Monopol- Term
Mit
∇ r ´ ⋅ [ x k ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = x k ´ ( ∇ r ´ ⋅ j ¯ ( r ¯ ´ ) ) + j ¯ ( r ¯ ´ ) ⋅ ( ∇ r ´ x k ´ ) Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung
∇ r ´ ⋅ j ¯ ( r ¯ ´ ) = 0 ∇ r ´ ⋅ [ x k ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = j ¯ ( r ¯ ´ ) ⋅ ( ∇ r ´ x k ´ ) = j l δ k l = j k Mit ∇ r ´ ⋅ [ x k ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = j k
∫ d 3 r ´ j k ( r ¯ ´ ) = ∫ d 3 r ´ ∇ r ´ ⋅ [ x k ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = ∮ S ∞ d f ¯ [ x k ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = 0 Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
Dipol- Term
[ r ¯ ´ × j ¯ ( r ¯ ´ ) ] × r ¯ = ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ − ( r ¯ j ¯ ) r ¯ ´ = 2 ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ − [ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ + ( r ¯ j ¯ ) r ¯ ´ ]
∇ r ´ [ x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ ] = [ ( r ¯ r ¯ ´ ) j k + x k ´ ( r ¯ j ¯ ) + x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) ∇ r ´ ⋅ j ¯ ] ∇ r ´ ⋅ j ¯ = 0 ⇒ ∇ r ´ [ x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ ] = [ ( r ¯ r ¯ ´ ) j k + x k ´ ( r ¯ j ¯ ) ] Folgt:
∫ R 3 d 3 r ´ ∇ r ´ [ x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ ] = ∫ R 3 d 3 r ´ [ ( r ¯ r ¯ ´ ) j k + x k ´ ( r ¯ j ¯ ) ] = 0 Da
∫ R 3 d 3 r ´ ∇ r ´ [ x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ ] = ∮ S ∞ d f ¯ [ x k ´ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ ] = 0 weil der Strom verschwindet!
Somit gibt der Term
[ ( r ¯ r ¯ ´ ) j ¯ + ( r ¯ j ¯ ) r ¯ ´ ] keinen Beitrag zum
μ 0 4 π r 3 ∫ R 3 d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ( r ¯ ⋅ r ¯ ´ ) Also:
A ¯ ( r ¯ ) = μ 0 4 π r 3 1 2 ∫ R 3 d 3 r ´ ( r ¯ ´ × j ¯ ( r ¯ ´ ) ) × r ¯ Als Dipolpotenzial
A ¯ ( r ¯ ) := μ 0 4 π r 3 m ¯ × r ¯ m ¯ = 1 2 ∫ R 3 d 3 r ´ ( r ¯ ´ × j ¯ ( r ¯ ´ ) ) das magnetische Dipolmoment!
Analog zu
Φ ( r ¯ ) := 1 4 π ε 0 r 3 p ¯ ⋅ r ¯ p ¯ := ∫ R 3 d 3 r ´ r ¯ ´ ρ ( r ¯ ´ ) dem elektrischen Dipolmoment
Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
B ¯ ( r ¯ ) := ∇ × μ 0 4 π r 3 m ¯ × r ¯ = μ 0 4 π r 5 [ 3 ( m ¯ ⋅ r ¯ ) r ¯ − r 2 m ¯ ] Wegen:
∇ × ( a ¯ × b ¯ ) = ( b ¯ ⋅ ∇ ) a ¯ − ( a ¯ ⋅ ∇ ) b ¯ + a ¯ ( ∇ ⋅ b ¯ ) − b ¯ ( ∇ ⋅ a ¯ ) a ¯ = m ¯ r 3 b ¯ = r ¯ ⇒ d i v a ¯ = − 3 m ¯ ⋅ r ¯ r 5 d i v b ¯ = 3 ( b ¯ ⋅ ∇ ) a ¯ = − 3 m ¯ ⋅ r 2 r 5 ( a ¯ ⋅ ∇ ) b ¯ = m ¯ r 3 Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
E ¯ ( r ¯ ) := 1 4 π ε 0 r 5 [ 3 ( p ¯ ⋅ r ¯ ) − r 2 p ¯ ]
Beispiel: Ebene Leiterschleife L:
d f ¯ ´ = 1 2 r ¯ ´ × d s ¯ ´ d 3 r ¯ ´ j ( r ¯ ´ ) = d s ¯ ´ I Mit I = Strom durch den Leiter
⇒ m ¯ = 1 2 ∮ L d 3 r ´ ( r ¯ ´ × j ¯ ( r ¯ ´ ) ) = I 2 ∮ L r ¯ ´ × d s ¯ ´ = I ∫ F d f ¯ ´ = I F n ¯ Dabei ist
n ¯ die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F
Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment m ¯
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
p ¯ = q a ¯ welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.
Bewegte Ladungen
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
Dabei sei die spezifische Ladung q i m i = q m
ρ ( r ¯ ) = ∑ i q i δ ( r ¯ − r ¯ i ) j ¯ ( r ¯ ) = ∑ i q i v ¯ i δ ( r ¯ − r ¯ i ) v ¯ i = d r ¯ i d t Das magnetische Dipolmoment
m ¯ = 1 2 ∮ L d 3 r ´ ( r ¯ ´ × j ¯ ( r ¯ ´ ) ) = 1 2 ∑ i q i ∫ d 3 r ´ r ¯ ´ × v ¯ i δ ( r ¯ ´ − r ¯ i ) = 1 2 ∑ i q i r ¯ i × v ¯ i = 1 2 ∑ i q i m i m i r ¯ i × v ¯ i q i m i = q m ⇒ m ¯ = q 2 m L ¯ Mit dem Bahndrehimpuls L ¯
m ¯ = q 2 m L ¯ gilt aber auch für starre Körper!
Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons!!!
m ¯ = g e 2 m S ¯ g ≈ 2 Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!
Kraft auf eine Stromverteilung
j ¯ ( r ¯ ´ ) = ρ i ( r ¯ ´ ) v ¯ ( r ¯ ´ ) im Feld einer externen magnetischen Induktion B ¯ ( r ¯ ´ )
Spürt die Lorentzkraft
F ¯ = ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × B ¯ ( r ¯ ´ ) Talyorentwicklung liefert:
B ¯ ( r ¯ ´ ) = B ¯ ( r ¯ ) + [ ( r ¯ ´ − r ¯ ) ∇ ] B ¯ ( r ¯ ) + .... ⇒ F ¯ = [ ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] × B ¯ ( r ¯ ´ ) + ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × [ ( r ¯ ´ − r ¯ ) ∇ ] B ¯ ( r ¯ ) + ... im stationären Fall gilt wieder:
[ ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = 0 Also:
F ¯ = ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × [ ( r ¯ ´ ) ∇ r ] B ¯ ( r ¯ ) − ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × [ ( r ¯ ) ∇ r ] B ¯ ( r ¯ ) ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × [ ( r ¯ ) ∇ r ] B ¯ ( r ¯ ) = 0 , d a ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) = 0 ⇒ F ¯ = ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × [ ( r ¯ ´ ) ∇ r ] B ¯ ( r ¯ ) [ ( r ¯ ´ ) ∇ r ] B ¯ ( r ¯ ) = ∇ r [ ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ] − r ¯ ´ × [ ∇ r × B ¯ ( r ¯ ) ] Man fordert:
[ ∇ r × B ¯ ( r ¯ ) ] = 0 (Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von j ¯ ( r ¯ ´ )
F ¯ = ∫ d 3 r ´ j ¯ ( r ¯ ´ ) × ∇ r [ ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ] j ¯ ( r ¯ ´ ) × ∇ r [ ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ] = − ∇ r × [ ( ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ) j ¯ ( r ¯ ´ ) ] + [ ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ] ∇ r × j ¯ ( r ¯ ´ ) ∇ r × j ¯ ( r ¯ ´ ) = 0 ⇒ F ¯ = − ∫ d 3 r ´ ∇ r × [ ( ( r ¯ ´ ) ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ) j ¯ ( r ¯ ´ ) ] = − ∇ r × ( m ¯ × B ¯ ( r ¯ ) ) F ¯ = − ∇ r × ( m ¯ × B ¯ ( r ¯ ) ) = ( m ¯ ⋅ ∇ r ) B ¯ ( r ¯ ) = − ∇ r ( − m ¯ ⋅ B ¯ ( r ¯ ) ) (Vergl. S. 34)
