Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!

Kugelwellen sind
→ Lorentz- Invariant, also:
$r^{2} - c^{2} t^{2} = r {\overset{´}{}}^{2} - c^{2} t {\overset{´}{}}^{2}$

Für Lorentz- Transformationen!

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

{(d s)}^{2} := {(c d t)}^{2} - {(d \bar{r})}^{2}

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :

Σ \leftrightarrow Σ \overset{´}{}

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man

{(d s)}^{2}

als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

\begin{matrix} x^{i} \\ x^{1} := c t \\ x^{1}, x^{2}, x^{3} \end{matrix}

als Komponenten des Ortsvektors

\bar{r}

kovariante Komponenten

\begin{matrix} x_{i} : \\ x_{0} := c t \\ x_{α} = - x^{α}, α = 1, 2, 3 \end{matrix}

kovarianter Vektor

\in \tilde{V}

,

dualer Vektorraum zu V!

Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten →

\in \tilde{V}

als Raum der linearen Funktionale l:

V \to R

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

Schreibe

{(d s)}^{2} = d x^{0} d x_{0} + d x^{1} d x_{1} + d x^{2} d x_{2} + d x^{3} d x_{3} = d x^{i} d x_{i}

Mit: Summenkonvention! über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt

a^{i} a_{i}

schreiben!

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

# = Δ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} = - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} = - \partial_{i} \partial^{i}

Vierergeschwindigkeit

\begin{matrix} u^{i} := \frac{d x^{i}}{d s} \Rightarrow u^{i} u_{i} = \frac{d x^{i} d x_{i}}{{(d s)}^{2}} = 1 \\ m i t \\ d s = {(d x^{i} d x_{i})}^{\frac{1}{2}} = c {(1 - β^{2})}^{\frac{1}{2} d t} = \frac{c}{γ} d t \\ \Rightarrow u^{0} = γ \\ u^{α} = \frac{γ}{c} v^{α} \\ v^{α} := \frac{d x^{α}}{d t} \\ β := \frac{v}{c} \\ γ := \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} \end{matrix}

Physikalische Interpretation

\begin{matrix} u^{α} = \frac{1}{c} \frac{d x^{α}}{d τ} \\ d τ = \frac{d t}{γ} \end{matrix}

Viererimpuls

p^{i} := m_{0} c u^{i}

mit der Ruhemasse m0

Also:

\begin{matrix} p^{i} p_{i} = {m_{0}}^{2} c^{2} u^{i} u_{i} \\ u^{i} u_{i} = 1 \\ \Rightarrow p^{i} p_{i} = {m_{0}}^{2} c^{2} \\ p^{0} = m_{0} γ c = m (v) c = \frac{E}{c} \\ p^{α} = m_{0} γ v^{α} = m (v) v^{α} \\ p^{i} p_{i} = {m_{0}}^{2} c^{2} u^{i} u_{i} \Leftrightarrow E^{2} = {m_{0}}^{2} c^{4} + c^{2} {\bar{p}}^{2} \end{matrix}

Mit der Energie

E = m (v) c^{2}

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

\begin{matrix} A^{i k}, {A^{i}}_{k}, {A_{i}}^{k}, A_{i k} \\ A^{00} = {A^{0}}_{0} = {A_{0}}^{0} = A_{00} \\ A^{10} = {A^{1}}_{0} = - {A_{1}}^{0} = - A_{10} \\ A^{11} = - {A^{1}}_{1} = - {A_{1}}^{1} = A_{11} \end{matrix}

Der metrische Tensor

g^{i k} := δ^{i k} = {\begin{matrix} {δ^{i}}_{k} k = 0 \\ - {δ^{i}}_{k} k = 1, 2, 3 \end{matrix}} = g_{i k}

g^{i k} = g_{i k} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

g^{i k} a_{k} = a^{i}

Wichtig fürs Skalarprodukt:

d s^{2} = g^{i k} d x_{i} d x_{k} = g_{i k} d x^{i} d x^{k}

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

\begin{matrix} (x^{0} \begin{matrix} , & x^{1}, & x^{2}, & x^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c t, & x, & y, & z \end{matrix}) \\ d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2} \end{matrix}

Nämlich:

\begin{matrix} (\begin{matrix} x_{0} \overset{´}{} \\ x_{1} \overset{´}{} \\ x_{2} \overset{´}{} \\ x_{3} \overset{´}{} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \\ x {\overset{´}{}}^{i} = {U^{i}}_{k} x^{k} \end{matrix}

Mit

{U^{i}}_{k} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

für

v | | x_{1}

Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

\begin{matrix} {U^{i}}_{k} {U_{i}}^{l} = δ_{k}^{l} \\ \Rightarrow a {\overset{´}{}}^{i} b {\overset{´}{}}_{i} = {U^{i}}_{k} {U_{i}}^{l} a^{k} b_{l} = a^{k} b_{k} \end{matrix}

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

Umkehr- Transformation:

x^{i} = {U_{k}}^{i} x {\overset{´}{}}^{k}

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Navigationsmenü

Suche