Räumliche Isotropie

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel

ϕ = s

um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

h^{s} : {\bar{r}}_{i} = (x_{i}, y_{i}, z_{i}) \to {\bar{r}}_{i} \overset{´}{} = (x {\overset{´}{}}_{i}, y {\overset{´}{}}_{i}, z {\overset{´}{}}_{i})

Dabei gilt:

\begin{matrix} x_{i} \overset{´}{} = x_{i} \cos s + y_{i} \sin s \\ y_{i} \overset{´}{} = y_{i} \cos s - x_{i} \sin s \\ z_{i} \overset{´}{} = z_{i} \end{matrix}

Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:

Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln

δ ϕ = δ s

(\begin{matrix} x_{i} \overset{´}{} \\ y_{i} \overset{´}{} \\ z_{i} \overset{´}{} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos s & \sin s & 0 \\ - \sin s & \cos s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{matrix}) \approx [(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & s & 0 \\ - s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})] (\begin{matrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{matrix})

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

(\begin{matrix} 0 & s & 0 \\ - s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = - s {\bar{\bar{J}}}_{z}

Mit

{\bar{\bar{J}}}_{z}

als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

(\begin{matrix} x_{i} \overset{´}{} \\ y_{i} \overset{´}{} \\ z_{i} \overset{´}{} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{matrix}) + s (\begin{matrix} y_{i} \\ - x_{i} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{i} \\ y_{i} \\ z_{i} \end{matrix}) + s ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z})

Formal schreibt man:

{\bar{r}}_{i} \overset{´}{} = h^{s} ({\bar{r}}_{i}) |_{s = 0} + s {(\frac{d}{d s} h^{s} ({\bar{r}}_{i}))}_{s = 0} + O (s^{2})

mit

{(\frac{d}{d s} h^{s} ({\bar{r}}_{i}))}_{s = 0} = {\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z}

Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

T = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2}

ist rotationsinvariant, da nur von

| {\dot{\bar{r}}}_{i} |

abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

(Drehungen sind orthogonale Transformationen).

{(\frac{\partial L}{\partial s})}_{s = 0} = - {(\frac{\partial V}{\partial s})}_{s = 0} = - \sum_{i = 1}^{N} (\nabla_{r i \overset{´}{}} V) {(\frac{d {\bar{r}}_{i} \overset{´}{}}{d s})}_{s = 0} = \sum_{i = 1}^{N} {\bar{F}}_{i} ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z})

wegen:

\begin{matrix} (\nabla_{r i \overset{´}{}} V) = - {\bar{F}}_{i} \\ {(\frac{d {\bar{r}}_{i} \overset{´}{}}{d s})}_{s = 0} = {(\frac{d h^{s}}{d s})}_{s = 0} \end{matrix}

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

{(\frac{\partial L}{\partial s})}_{s = 0} = - {(\frac{\partial V}{\partial s})}_{s = 0} = {\bar{e}}_{z} \cdot \sum_{i} ({\bar{F}}_{i} \times {\bar{r}}_{i}) = - {\bar{e}}_{z} \cdot \sum_{i} ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{F}}_{i})

Mit

\sum_{i} ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{F}}_{i})

als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

- {\bar{e}}_{z} \cdot \sum_{i} ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{F}}_{i}) = {(\frac{\partial L}{\partial s})}_{s = 0} = - {(\frac{\partial V}{\partial s})}_{s = 0} = 0

Interpretation nach dem Noetherschen Theorem

I (\bar{r}, \dot{\bar{r}}) = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial L}{\partial {\dot{\bar{r}}}_{i}} \cdot {(\frac{d h^{s}}{d s})}_{s = 0} = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} \cdot ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z}) = - {\bar{e}}_{z} \sum_{i} ({\bar{r}}_{i} \times m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}) = - {\bar{e}}_{z} \bar{l} = - l_{z}

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

Andere Betrachtungsweise

Wähle

q_{1} = ϕ = s

als verallgemeinerte Koordinate

Trafo:

{\bar{r}}_{i} = {\bar{r}}_{i} (ϕ, q_{2}, ..., q_{f}, t)

mit

\frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} = {(\frac{d}{d s} h^{s} ({\bar{r}}_{i}))}_{s = 0} = {\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z}

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

Invarianz Erhaltungssätze

{\frac{\partial L}{\partial q_{1}}}_{} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = 0

 äquivalent zum Erhaltungssatz

p_{1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = c o n s t

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu

q_{1} = ϕ = s

,

so ergibt sich:

p_{1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{i} m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i} ({\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{z}) = - {\bar{e}}_{z} \sum_{i} ({\bar{r}}_{i} \times m_{i} {\dot{\bar{r}}}_{i}) = - l_{z}

wegen

\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{\bar{r}}}_{i} = \frac{\partial}{\partial q_{1}} {\bar{r}}_{i} d a_{} {\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{k} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial t}

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit

\tilde{ϕ} = - ϕ

.

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

Beispiel:

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

V ({\bar{r}}_{1}, ..., {\bar{r}}_{N}) = V (r_{12}, ..., r_{i j}, ...)

mit

r_{i j} = | {\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j} |

Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:

\frac{\partial V (r_{12}, ..., r_{i j}, ...)}{\partial ϕ} = \sum_{i, j} \frac{\partial V}{\partial r_{i j}} \cdot \frac{\partial}{\partial ϕ} r_{i j} = 0

für beliebige Achsen, da

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial ϕ} r_{i j} = \frac{\partial}{\partial ϕ} {[({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}) ({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j})]}^{1 / 2} = \frac{1}{r_{i j}} ({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}) \frac{\partial}{\partial ϕ} ({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}) = \frac{{\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}}{r_{i j}} (\frac{\partial}{\partial ϕ} {\bar{r}}_{i} - \frac{\partial}{\partial ϕ} {\bar{r}}_{j}) \\ \frac{\partial}{\partial ϕ} {\bar{r}}_{i} = {\bar{r}}_{i} \times {\bar{e}}_{k} \\ \Rightarrow \frac{{\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}}{r_{i j}} (\frac{\partial}{\partial ϕ} {\bar{r}}_{i} - \frac{\partial}{\partial ϕ} {\bar{r}}_{j}) = \frac{{\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}}{r_{i j}} [({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}) \times {\bar{e}}_{k}] = \frac{1}{r_{i j}} {\bar{e}}_{k} [({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j}) \times ({\bar{r}}_{i} - {\bar{r}}_{j})] = 0 \end{matrix}

Also ist der resultierende Drehimpuls

\bar{l}

eine Erhaltungsgröße

Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

{\bar{r}}_{i} \overset{´}{} = h^{s} ({\bar{r}}_{i}) = (\bar{\bar{1}} - s {\bar{\bar{J}}}_{z}) {\bar{r}}_{i}

Mit der Erzeugenden

{\bar{\bar{J}}}_{z} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel

ϕ

gilt:

{\bar{r}}_{i} \overset{´}{} = {\bar{\bar{R}}}_{z} (ϕ) {\bar{r}}_{i} = (\begin{matrix} \cos ϕ & \sin ϕ & 0 \\ - \sin ϕ & \cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) {\bar{r}}_{i}

Es gilt:

{\bar{\bar{R}}}_{z} (ϕ) = \exp (- {\bar{\bar{J}}}_{z} ϕ)

mit Definition

\exp (- {\bar{\bar{J}}}_{z} ϕ) := \bar{\bar{1}} + (- {\bar{\bar{J}}}_{z} ϕ) + \frac{1}{2} {(- {\bar{\bar{J}}}_{z} ϕ)}^{2} + ... + \frac{1}{k!} {(- {\bar{\bar{J}}}_{z} ϕ)}^{k}

Beweis:

Für

\begin{matrix} \bar{\bar{M}} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow {\bar{\bar{M}}}^{2} = - \bar{\bar{1}}, {\bar{\bar{M}}}^{3} = - \bar{\bar{M}}, {\bar{\bar{M}}}^{4} = \bar{\bar{1}} \\ {\bar{\bar{M}}}^{2 n} = {(- 1)}^{n} \bar{\bar{1}} \\ {\bar{\bar{M}}}^{(2 n + 1)} = {(- 1)}^{n} \bar{\bar{M}} \end{matrix}

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

\begin{matrix} (\begin{matrix} \cos ϕ & \sin ϕ \\ - \sin ϕ & \cos ϕ \end{matrix}) = \bar{\bar{1}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} ϕ^{2 n} - \bar{\bar{M}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} ϕ^{2 n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} {\bar{\bar{M}}}^{2 n} ϕ^{2 n} - \bar{\bar{M}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} {\bar{\bar{M}}}^{2 n + 1} ϕ^{2 n + 1} \\ = \exp (- \bar{\bar{M}} ϕ) \end{matrix}

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

{\bar{\bar{J}}}_{x} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

{\bar{\bar{R}}}_{x} (ϕ) = \exp (- {\bar{\bar{J}}}_{x} ϕ)

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

{\bar{\bar{J}}}_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

{\bar{\bar{R}}}_{y} (ϕ) = \exp (- {\bar{\bar{J}}}_{y} ϕ)

Beliebige Drehungen um den Winkel

ϕ

mit der Drehachse

\bar{n}

{\bar{\bar{R}}}_{} (\bar{ϕ}) = \exp (- ϕ \sum_{i = 1}^{3} n_{i} {\bar{\bar{J}}}_{i})

mit

\bar{ϕ} := ϕ \bar{n}

Die Drehmatrizen

{\bar{\bar{R}}}_{} (\bar{ϕ}) = \exp (- ϕ \sum_{i = 1}^{3} n_{i} {\bar{\bar{J}}}_{i})

bilden nun eine 3- parametrige

(ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3})

,

stetige, diffbare

(i n ϕ)

und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

S O (3) = {\bar{\bar{R}} : R^{3} \to R^{3} l i n e a r | {\bar{\bar{R}}}^{t} \bar{\bar{R}} = 1 | det \bar{\bar{R}} = 1}

Mit

{\bar{\bar{R}}}^{t} \bar{\bar{R}} = 1

als Orthogonalitätsbedingung, so dass

| \bar{r} \overset{´}{} | = | \bar{r} |

und

det \bar{\bar{R}} = 1

zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden

{\bar{\bar{J}}}_{i}

der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

[{\bar{\bar{J}}}_{i}, {\bar{\bar{J}}}_{k}] = {\bar{\bar{J}}}_{i} {\bar{\bar{J}}}_{k} - {\bar{\bar{J}}}_{k} {\bar{\bar{J}}}_{i}

i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:

\begin{matrix} [{\bar{\bar{J}}}_{x}, {\bar{\bar{J}}}_{y}] = {\bar{\bar{J}}}_{z} \\ [{\bar{\bar{J}}}_{z}, {\bar{\bar{J}}}_{x}] = {\bar{\bar{J}}}_{y} \\ [{\bar{\bar{J}}}_{y}, {\bar{\bar{J}}}_{z}] = {\bar{\bar{J}}}_{x} \end{matrix}

→ zyklische Permutation des Lieschen Produktes

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Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

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