Zeitabhängige Störungsrechnung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes ${| Ψ ⟩}_{t}$ aus der Schrödingergleichung

\hat{H} {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t}

berechnet werden, wobei

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}_{1} (t)

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $ε$ linear entwickelt werden kann:

{\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H₀ seien bekannt:

{\hat{H}}_{0} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩

(ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

\begin{matrix} ⟨ n \overset{´}{} | n ⟩ = δ_{n \overset{´}{} n} \\ \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | = 1 \end{matrix}

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von ${| Ψ ⟩}_{t}$ nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

\begin{matrix} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} := c_{n} (t) \end{matrix}

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand $| n_{0} ⟩$ :

{| Ψ ⟩}_{t = 0} = | n_{0} ⟩

Damit:

⟨ n | n_{0} ⟩ := c_{n} (0) = δ_{n n_{0}}

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

\begin{matrix} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} := c_{n} (t) \end{matrix}

in die Schrödingergleichung:

\begin{matrix} \hat{H} {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ \Rightarrow \sum_{n} c_{n} (t) \hat{H} | n ⟩ = i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ({\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) (E_{n} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ \end{matrix}

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

\begin{matrix} i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) ⟨ m | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | ({\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ = \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | (E_{n} + {\hat{H}}^{1} (t)) | n ⟩ \\ = \sum_{n} c_{n} (t) (⟨ m | E_{n} | n ⟩ + ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩) = \sum_{n} c_{n} (t) E_{n} δ_{m n} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \\ \Rightarrow i ℏ \sum_{n} \frac{d}{d t} c_{n} (t) ⟨ m | n ⟩ = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ = i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) \end{matrix}

Hilfreich ist die Definition eines $c_{n} (t) := e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)$ mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})}

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩

mit $i ℏ \frac{d}{d t} c_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + e^{- (i \frac{E_{m} t}{ℏ})} i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t)$

Setzt man dies ein, so folgt:

\begin{matrix} c_{m} (t) E_{m} + e^{- (i \frac{E_{m} t}{ℏ})} i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = c_{m} (t) E_{m} + \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \\ \Rightarrow i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = e^{(i \frac{E_{m} t}{ℏ})} \sum_{n} c_{n} (t) ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ \end{matrix}

und wegen $c_{n} (t) := e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)$ also:

i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ g_{n} (t)

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines $ε$ :

{\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von $⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩$

polynomial in $ε$

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

g_{n} (t) = {g_{n}}^{(0)} (t) + ε {g_{n}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{n}}^{(2)} (t) + ...

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

\begin{matrix} \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} = \sum_{n} c_{n} (t) | n ⟩ \\ ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} := c_{n} (t) \end{matrix}

c_{n} (t) := e^{- (i \frac{E_{n} t}{ℏ})} g_{n} (t)

Da aber die Differenzialgleichung für unsere $g_{m} (t)$

i ℏ \frac{d}{d t} g_{m} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ g_{n} (t)

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

\begin{matrix} i ℏ \frac{d}{d t} ({g_{m}}^{(0)} (t) + ε {g_{m}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{m}}^{(2)} (t) + ...) \\ = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ ({g_{n}}^{(0)} (t) + ε {g_{n}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{n}}^{(2)} (t) + ...) \end{matrix}

und dies für beliebige $ε$

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung $ε^{k}$

durchgeführt werden und es folgt: $k = 0$ :

\begin{matrix} i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(0)} (t) = 0 \\ \Rightarrow {g_{m}}^{(0)} (t) = c o n s t =! = δ_{m n_{0}} \end{matrix}

Exakte Lösung für $ε = 0$

{c_{m}}^{(0)} (t) = e^{- i \frac{E_{m}}{ℏ} t} δ_{m n_{0}}

Für k=1

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

Dabei wurde $ε^{k} = ε^{1}$

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von $ε$

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von $ε$ .

Rechts dagegen hat man eine Ordnung von  $ε$

,

die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch  ${\hat{H}}_{1} (t) = ε \hat{V}$

.

Also hat man formal in erster Ordnung von  $ε$

i ℏ \frac{d}{d t} ε {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | ε \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)} \Rightarrow i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

Wir wissen: ${g_{m}}^{(0)} (t) = c o n s t =! = δ_{m n_{0}}$

Somit:

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n ⟩ {g_{n}}^{(0)}

also:

i ℏ \frac{d}{d t} {g_{m}}^{(1)} (t) = e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n 0}) t}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n_{0} ⟩

und mit der Anfangsbedingung ${g_{n}}^{(1)} (0) = 0$

kann formal integriert werden:

{g_{m}}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n 0}) τ}{ℏ})} ⟨ m | \hat{V} | n_{0} ⟩

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand $| n ⟩$

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand $| n_{0} ⟩$

vorliegt.

{| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| \sum_{n \overset{´}{}} c_{n \overset{´}{}} (t) ⟨ n | n \overset{´}{} ⟩ |}^{2} = {| c_{n} (t) |}^{2} = {| g_{n} (t) |}^{2}

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

g_{n} (t) = {g_{n}}^{(o)} = δ_{n n_{0}} = 1

für n=n0 und

g_{n} (t) = ε {g_{n}}^{(1)}

für $n \neq n_{0}$

Zeitunabhängige Störung:

\hat{V} = c o n s t .

\begin{matrix} {g_{n}}^{(1)} (t) = - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) τ}{ℏ})} ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ = - ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ \frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}} \\ {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0}) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0}}} := {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} {\frac{(e^{(- i Ω t)} - 1) (e^{(i Ω t)} - 1)}{Ω^{2} ℏ^{2}}} \\ Ω := \frac{(E_{n} - E_{n 0})}{ℏ} \\ \Rightarrow {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} \frac{2 (1 - \cos Ω t)}{Ω^{2} ℏ^{2}} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} \frac{4 \sin^{2} \frac{Ω}{2} t}{Ω^{2} ℏ^{2}} \\ \frac{4 \sin^{2} \frac{Ω}{2} t}{Ω^{2} ℏ^{2}} := D_{t} (E_{n} - E_{n 0}) \\ \Rightarrow {| {g_{n}}^{(1)} (t) |}^{2} = {| ⟨ n | \hat{V} | n_{0} ⟩ |}^{2} D_{t} (E_{n} - E_{n 0}) \end{matrix}

Die Größe $Ω := \frac{(E_{n} - E_{n 0})}{ℏ}$ heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

\begin{matrix} D_{t} (0) = {(\frac{t}{ℏ})}^{2} \\ \begin{matrix} lim \\ t \to \infty \end{matrix} (D_{t} (0)) = \infty \\ \int_{- \infty}^{\infty} D_{t} (E) = \int_{- \infty}^{\infty} d E \frac{4 \sin^{2} (\frac{E t}{2 ℏ})}{E^{2}} = \frac{2 t}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} d ξ \frac{\sin^{2} ξ}{ξ^{2}} \\ \int_{- \infty}^{\infty} d ξ \frac{\sin^{2} ξ}{ξ^{2}} = π \\ \Rightarrow \int_{- \infty}^{\infty} D_{t} (E) = \frac{2 π}{ℏ} t \end{matrix}

Also:

\begin{matrix} D_{t} (E) = : \frac{2 π}{ℏ} t δ_{t} (E) \\ \begin{matrix} lim \\ t \to \infty \end{matrix} D_{t} (E) = \frac{2 π}{ℏ} t δ (E) \end{matrix}

Grafisch Datei:Sign squared.gif

\Rightarrow {| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} (t) |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩ |}^{2} \cdot t \cdot δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})

Für $t \to \infty$ Energieerhaltung: $E_{n} - E_{n_{0}} = 0$

Für $t < \infty$ hat $D_{t} (E) = : \frac{2 π}{ℏ} t δ_{t} (E)$ die Breite $Δ E ≅ \frac{4 π ℏ}{t}$

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:

Δ E t ≅ 4 π ℏ

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ )

W_{n n 0} = \frac{d}{d t} {| ⟨ n | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})

Mit dem Übergangsmatrixelement

⟨ n | {\hat{H}}^{1} | n_{0} ⟩

und einer quadratischen Sinc- Funktion, $δ_{t} (E_{n} - E_{n_{0}})$ (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie $E_{n} - E_{n_{0}}$ beschränkt, so lange deren Abweichung von $E_{n} - E_{n_{0}}$ noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um $E_{n} - E_{n_{0}}$ ab, für Quantenenergien, die von $E_{n} - E_{n_{0}}$ verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

\begin{matrix} δ_{t} \to δ \\ f \ddot{u} r t \to \infty \end{matrix}

Harmonische zeitabhängige Störung

{\hat{H}}^{1} (t) = \hat{F} e^{- i ω t} + {\hat{F}}^{+} e^{i ω t}

hermitesch!

Es folgt:

\begin{matrix} g_{n} (t) = - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) τ}{ℏ})} ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) τ}{ℏ})} ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ \\ \Rightarrow g_{n} (t) = - ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ}) - 1}}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} - ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ}) - 1}}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} \end{matrix}

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$

\begin{matrix} {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} \\ + ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{e^{(- i \frac{(E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω}} {\frac{e^{(i \frac{(E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) t}{ℏ})} - 1}{E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω}} \\ Ω^{\pm} := Ω \pm ω = \frac{(E_{n} - E_{n 0} \pm ℏ ω)}{ℏ} \\ \Rightarrow {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ + ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ := A e^{- i γ} \\ ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ * ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ := A e^{i γ} \end{matrix}

\begin{matrix} \Rightarrow {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) \\ + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω) + A e^{- i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \\ + A e^{i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} \end{matrix}

Weiter gilt

A e^{- i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{-} t)} - 1) (e^{(i Ω^{+} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} + A e^{i γ} {\frac{(e^{(- i Ω^{+} t)} - 1) (e^{(i Ω^{-} t)} - 1)}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}}} = \frac{4 A}{ℏ^{2} Ω^{+} Ω^{-}} \cos (ω t - γ) [\cos (ω t) - \cos (Ω t)]

Für $ω \neq 0, Ω \neq 0$ sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für $t \to \infty$ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme $\tilde{} t δ (E_{n} - E_{n 0} \pm ℏ ω) = t δ (ℏ Ω^{\pm})$

Somit folgt für $t \to \infty$

{| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| g_{n} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | {\hat{F}}^{+} | n_{0} ⟩ |}^{2} t δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen $| n_{0} ⟩$ und $| n ⟩$ pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

W_{n n 0} = \frac{d}{d t} {| {⟨ n | Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω) + \frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n_{0} | \hat{F} | n ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

Die Terme lassen sich identifizieren:

\frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n | \hat{F} | n_{0} ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} - ℏ ω)

steht für die Absorption eines Quants der Energie $ℏ ω$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ ,

was einem Energiesprung von  $E_{n} - E_{n 0}$

entspricht. Das Quant wird also von Niveau $| n_{0} ⟩$ auf $| n ⟩$ gehievt

\frac{2 π}{ℏ} {| ⟨ n_{0} | {\hat{F}}^{+} | n ⟩ |}^{2} δ (E_{n} - E_{n 0} + ℏ ω)

steht für die Emission eines Quants der Energie $ℏ ω$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $| n ⟩$ auf $| n_{0} ⟩$ ,

was einer Energieabgabe von  $E_{n 0} - E_{n}$

entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau $| n_{0} ⟩$ auf das Niveau $| n ⟩$ herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

{\hat{H}}_{W}^{1} (t) = e^{(\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{(- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)}

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit ${\hat{H}}_{0}$ gewonnen, während die Zustände mit ${\hat{H}}_{W}^{1} (t)$ evolutionieren:

i ℏ \frac{d}{d t} {| Ψ ⟩}_{W} = {\hat{H}}_{W}^{1} (t) {| Ψ ⟩}_{W}

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

\begin{matrix} {| Ψ ⟩}_{W} (t) = {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ ({\hat{H}}_{W}^{1} (τ) {| Ψ ⟩}_{W} (τ)) \\ {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) = | n_{0} ⟩ \end{matrix}

Für kleine ${\hat{H}}_{W}^{1}$ liefert eine Iteration:

\begin{matrix} {| Ψ ⟩}_{W} (t) = {| Ψ ⟩}_{W} (t = 0) - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ ({\hat{H}}_{W}^{1} (τ) {| Ψ ⟩}_{W} (τ)) \approx (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ {\hat{H}}_{W}^{1} (τ)) | n_{0} ⟩ \\ {| Ψ ⟩}_{W} (t) \approx (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ {\hat{H}}_{W}^{1} (τ)) | n_{0} ⟩ = (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩ \end{matrix}

Mit

{| Ψ ⟩}_{S} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} {| Ψ ⟩}_{W} (t) \approx e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩

und

e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) := U (t, 0)

Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

\begin{matrix} c_{n} (t) = ⟨ n | Ψ ⟩ = ⟨ n | U (t, 0) | n_{0} ⟩ = ⟨ n | e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} t} (1 - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ} {\hat{H}}_{S}^{1} e^{- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}^{0} τ}) | n_{0} ⟩ \\ \Rightarrow c_{n} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} (δ_{n n_{0}} - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ}) \\ δ_{n n_{0}} = {g_{n}}^{(0)} \\ - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ} = ε {g_{n}}^{(1)} \\ c_{n} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} (δ_{n n_{0}} - \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d τ e^{\frac{i}{ℏ} E_{n} τ} ⟨ n | {\hat{H}}_{S}^{1} | n_{0} ⟩ e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n 0} τ}) = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n} t} g_{n} (t) \end{matrix}

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!

Zeitabhängige Störungsrechnung

Zeitunabhängige Störung:

Harmonische zeitabhängige Störung

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

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