Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Drehimpuls und Bewegungsgleichungen	Mechanik des starren Körpers
	Definition des starren Körpers Kinetische Energie und Trägheitstensor Drehimpuls und Bewegungsgleichungen	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Drehimpuls

1. diskret:

${\begin{aligned}&{\bar {l}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}\times {{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}\left({{\bar {r}}_{S}}+{{\bar {x}}^{(i)}}\right)\times \left({\bar {V}}+{\bar {\omega }}\times {{\bar {x}}^{(i)}}\right)\\&{\bar {l}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}\left({{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {V}}\right)+\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times {\bar {V}}+{{\bar {r}}_{S}}\times \left({\bar {\omega }}\times \sum \limits _{i}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\right)+\sum \limits _{i}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times \left({\bar {\omega }}\times {{\bar {x}}^{(i)}}\right)\\&\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times {\bar {V}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}\left({{\bar {x}}^{(i)}}\right)=0\\&{\bar {l}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{}{{m}_{i}}\left({{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {V}}\right)+\sum \limits _{i}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times \left({\bar {\omega }}\times {{\bar {x}}^{(i)}}\right)=M\left({{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {V}}\right)+\sum \limits _{i}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times \left({\bar {\omega }}\times {{\bar {x}}^{(i)}}\right)\\\end{aligned}}$ Mit $M\left({{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {V}}\right)$

als Schwerpunktsdrehimpuls

$\sum \limits _{i}{{m}_{i}}{{\bar {x}}^{(i)}}\times \left({\bar {\omega }}\times {{\bar {x}}^{(i)}}\right)$

als Relativdrehimpuls

1. kontinuierliche Situation

${\begin{aligned}&{\bar {l}}={{\bar {r}}_{s}}\times M{\bar {V}}+\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}}){\bar {x}}}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {x}}\right)\\&{\bar {L}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}}){\bar {x}}}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {x}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}})\left[{{x}^{2}}{\bar {\omega }}-\left({\bar {x}}\cdot {\bar {\omega }}\right){\bar {x}}\right]}\\\end{aligned}}$

Also:

${\bar {L}}={\bar {\bar {J}}}{\bar {\omega }}$

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

${{L}_{m}}=\sum \limits _{n=1}^{3}{}\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}})}\left[{{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}\right]{{\omega }_{n}}=\sum \limits _{n=1}^{3}{}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}$

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist ${\bar {L}}$ nicht parallel zu ${\bar {\omega }}$ , nur falls ${\bar {\omega }}$ in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

${\frac {d}{dt}}{\bar {l}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}}$ . Dabei sind ${{\bar {F}}_{i}}$ äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft ${\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})=\sum \limits _{i}{}{{\bar {F}}_{i}}$ soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

$\sum \limits _{i}{}{\frac {{\bar {F}}_{i}}{{m}_{i}}}={\frac {{\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})}{M}}$

Somit:

${\frac {d}{dt}}{\bar {l}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}\times {\frac {{\bar {F}}_{i}}{{m}_{i}}}={{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})}$

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

$M{{\ddot {\bar {r}}}_{S}}={\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})$ (Newton)

${\frac {d}{dt}}{\bar {l}}={\frac {d}{dt}}\left({{\bar {r}}_{s}}\times M{\bar {V}}+\int _{}^{}{{{d}^{3}}x\rho ({\bar {x}}){\bar {x}}}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {x}}\right)\right)={\frac {d}{dt}}\left({{\bar {r}}_{s}}\times M{{\dot {\bar {r}}}_{s}}\right)+{\frac {d}{dt}}{\bar {L}}=M{{\dot {\bar {r}}}_{s}}\times {{\dot {\bar {r}}}_{s}}+{{\bar {r}}_{S}}\times M{{\ddot {\bar {r}}}_{S}}+{\frac {d}{dt}}{\bar {L}}$

${\begin{aligned}&M{{\dot {\bar {r}}}_{s}}\times {{\dot {\bar {r}}}_{s}}=0\\&{{\bar {r}}_{S}}\times M{{\ddot {\bar {r}}}_{S}}={{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})\\\end{aligned}}$

${\frac {d}{dt}}{\bar {l}}={{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})+{\frac {d}{dt}}{\bar {L}}$

Gleichzeitig gilt: ${\frac {d}{dt}}{\bar {l}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}\times {\frac {{\bar {F}}_{i}}{{m}_{i}}}={{\bar {r}}_{S}}\times {\bar {F}}({{\bar {r}}_{S}})}$

Somit:

${\frac {d}{dt}}{\bar {L}}=0$

Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System ${\bar {K}}$ erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung $\left({\frac {d}{dt}}\right){\acute {\ }}$ , die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

$\left({\frac {d}{dt}}\right)={{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{\acute {\ }}}+{\bar {\omega }}\times$

Somit gilt für das körperfeste System ${\bar {K}}$

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {L}}}+{\bar {\omega }}\times {\bar {L}}=0\\&{{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{\acute {\ }}}{\bar {L}}+{\bar {\omega }}\times {\bar {L}}=0\\\end{aligned}}$

Mit ${\bar {L}}={\bar {\bar {J}}}{\bar {\omega }}$ folgt im körperfesten System,wo gilt: ${\dot {\bar {\bar {J}}}}$ =0

${\bar {\bar {J}}}{\dot {\bar {\omega }}}+{\bar {\omega }}\times {\bar {\bar {J}}}{\bar {\omega }}=0$

Dies ist eine nichtlineare DGL in ${\bar {\omega }}$

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls ${\bar {\bar {J}}}$ diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):

${\begin{aligned}&{{J}_{1}}{{\dot {\omega }}_{1}}=\left({{J}_{2}}-{{J}_{3}}\right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{J}_{2}}{{\dot {\omega }}_{2}}=\left({{J}_{3}}-{{J}_{1}}\right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}\\&{{J}_{3}}{{\dot {\omega }}_{3}}=\left({{J}_{1}}-{{J}_{2}}\right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\\\end{aligned}}$

Beispiel: Symmetrischer Kreisel: ${{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\neq {{J}_{3}}$

${{\dot {\omega }}_{3}}=0$ , also ${{\omega }_{3}}=const$ im mitrotierenden System

${\begin{aligned}&J{{\dot {\omega }}_{1}}=\left({{J}_{}}-{{J}_{3}}\right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{\ddot {\omega }}_{1}}={\frac {\left({{J}_{}}-{{J}_{3}}\right)}{J}}{{\dot {\omega }}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[{\frac {\left({{J}_{}}-{{J}_{3}}\right)}{J}}{{\omega }_{3}}\right]}^{2}}{{\omega }_{1}}\\\end{aligned}}$

Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten

${{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}$ und der Zusammenfassung ${{\omega }_{0}}:={\frac {\left(J-{{J}_{3}}\right)}{J}}{{\omega }_{3}}$

folgt:

${{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left({{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}}\right)$

Dies kann in

$J{{\dot {\omega }}_{1}}=\left({{J}_{}}-{{J}_{3}}\right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}$ eingesetzt werden und es ergibt sich:

${{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left({{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}}\right)$

Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:

${{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const$

${{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const$

Das heißt

${\bar {\omega }}$ und damit auch ${\bar {L}}$ mit ${{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}$

rotieren um die Figurenachse

${\bar {f}}||{{x}_{3}}$

Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit ${\frac {d}{dt}}{\bar {L}}=0\Rightarrow {\bar {L}}\ fest$

${\bar {\omega }}$ und ${\bar {f}}$ präzedieren um die raumfeste Achse ${\bar {L}}$ . Dabei müssen ${\bar {\omega }}$ , ${\bar {f}}$ und ${\bar {L}}$ stets in einer Ebene liegen.

Anwendung:

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:

${\begin{aligned}&{\frac {\left({{J}_{}}-{{J}_{3}}\right)}{J}}\approx {\frac {1}{300}}\\&{\frac {2\pi }{{\omega }_{3}}}=1Tag\\\end{aligned}}$

Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:

$T={\frac {2\pi }{{\omega }_{0}}}={\frac {2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}}={\frac {J}{(J-{{J}_{3}})}}\cdot 1Tag=300Tage$

Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>