Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Mechanik des starren Körpers

Inhaltsverzeichnis

1 Drehimpuls
2 Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

Drehimpuls

diskret:

$\begin{align} & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ \end{align}$ Mit $M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)$

als Schwerpunktsdrehimpuls

$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)$

als Relativdrehimpuls

kontinuierliche Situation

$\begin{align} & \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\ & \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\ \end{align}$

Also:

$\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }$

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

${{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}$

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist

$\bar{L}$

nicht parallel zu

$\bar{\omega }$ ,

nur falls

$\bar{\omega }$

in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt!

Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls

$\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}$ .

Dabei sind

${{\bar{F}}_{i}}$

äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft

$\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}$

soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

$\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}$

Somit:

$\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}$

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

$M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})$

(Newton)

$\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}$

$\begin{align} & M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\ & {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\ \end{align}$

$\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}$

Gleichzeitig gilt:

$\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}$

Somit:

$\frac{d}{dt}\bar{L}=0$

Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen.

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System

$\bar{K}$

erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung

$\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }$ ,

die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

$\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times$

Somit gilt für das körperfeste System

$\bar{K}$

$\begin{align} & \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\ & {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\ \end{align}$

Mit

$\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }$

folgt im körperfesten System,wo gilt:

$\dot{\bar{\bar{J}}}$

=0

$\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0$

Dies ist eine nichtlineare DGL in

$\bar{\omega }$

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls

$\bar{\bar{J}}$

diagonal (Hauptträgheitsachsensystem):

$\begin{align} & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\ \end{align}$

Beispiel: Symmetrischer Kreisel:

${{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}$

${{\dot{\omega }}_{3}}=0$ ,

also

ω 3 = c o n s t

im mitrotierenden System

$\begin{align} & J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ & {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\ \end{align}$