Prüfungsfragen:Statistische Physik: Unterschied zwischen den Versionen
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=Warum betreibt man statistische Physik= | =Warum betreibt man statistische Physik= | ||
<noinclude>{{Frage| statistische Physik}}</noinclude> | <noinclude>{{Frage| statistische Physik}}</noinclude> | ||
*Beschreibung von Vielteilchensystemen | *Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben | ||
*Mangel an Informationen | *Mangel an Informationen → Mangel an Fragen | ||
Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden | Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden | ||
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände <math> \Psi_i </math> ) | Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände <math> \Psi_i </math>) | ||
BILD | BILD | ||
<math>G_\nu</math> als Funktion von <math>\lambda_\nu, h_\alpha</math> auffassen | :<math>G_\nu</math> als Funktion von <math>\lambda_\nu, h_\alpha</math> auffassen | ||
Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand | |||
siehe auch {{Quelle|St7B||Kap 5.2}} | |||
=Was sind die Konzepte der statistischen Physik= | =Was sind die Konzepte der statistischen Physik= | ||
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=Shannon Information= | =Shannon Information= | ||
Shannon Information <math>I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.4.5)|S 45}} | Shannon Information <math>I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.4.5)|S 45}} | ||
*<math>I \left[ p_\alpha \right] \le 0 </math> | |||
*<math>{{p}_{\alpha }}=0\to I\left[ {{p}_{\alpha }} \right]=0</math> maximal bei scharfer Verteilung | |||
= Minimierung der Shannon-Information= | = Minimierung der Shannon-Information= | ||
[[ | [[Verallgemeinerte kanonische Verteilung|Schöll S21]] | ||
<math>\lambda= -(\Psi +1)</math> | :<math>\lambda= -(\Psi +1)</math> | ||
Variation unter NB <math>\sum_\alpha p_\alpha=1</math> ist eine Observable | Variation unter NB <math>\sum_\alpha p_\alpha=1</math> ist eine Observable | ||
Annahme N_m andere Observable | Annahme N_m andere Observable | ||
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<math>0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)</math>{{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}} | :<math>0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)</math>{{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}} | ||
<math>p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)</math> | :<math>p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)</math> | ||
<math>\Psi=-1-\lambda_0</math> | :<math>\Psi=-1-\lambda_0</math> | ||
= verallgmeinerte kanonische Verteilung= | = verallgmeinerte kanonische Verteilung= | ||
?Volumenabhängigkeit | ?Volumenabhängigkeit | ||
*E hängt von V ab | |||
--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion | |||
--> größeres Volumen mehr zustände | |||
--> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links | |||
=Entropie= | =Entropie= | ||
Über negative Shannon Info *k | Über negative Shannon Info *k | ||
<math>S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.5.7)|S 48}} | :<math>S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.5.7)|S 48}} | ||
Über Dichtematrix/operator | Über Dichtematrix/operator | ||
<math>S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha </math> | :<math>S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha </math> | ||
Minimum bei reinen Zuständen? | Minimum bei reinen Zuständen? | ||
<math>S(\rho) \ge 0</math> | :<math>S(\rho) \ge 0</math> | ||
TD | TD | ||
<math>dS=\frac{dQ}{T}</math> | :<math>dS=\frac{dQ}{T}</math> | ||
=Bose-Einstein-Kondensation= | =Bose-Einstein-Kondensation= | ||
=Dichteoperator f kanonisches Ensemble= | |||
:<math>\rho= \sum_alpha p_\alpha ketbra{\alpha}{\alpha}</math> | |||
\alpha Eigenstate | |||
:<math>p_\alpha=\frac{1}{Z}exp(-\beta \epsilon_\alpha)</math> | |||
Z Zustandssumme | |||
=Bose-Verteilung= | =Bose-Verteilung= | ||
<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math> | :<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math> | ||
Bei Photonen µ=0 | Bei Photonen µ=0 | ||
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=Fermi-Verteilung= | =Fermi-Verteilung= | ||
<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math> | :<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math> | ||
T=0 Fermi Energie | T=0 Fermi Energie | ||
µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet | |||
[[Bild: | [[Bild:Fermi dirac distr.svg]] | ||
=Boltzmann-Verteilung= | =Boltzmann-Verteilung= | ||
<math> \langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }</math> | :<math> \langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }</math> | ||
Schneidet bei 1 | Schneidet bei 1 | ||
ideales Gas (kein eWW) | ideales Gas (kein eWW) | ||
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Chemisches Potential? | Chemisches Potential? | ||
klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur | klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur | ||
gilt bei hoher Energie und geringer dichte | |||
photonen haben kein ch potential | |||
=Wärmekapazität= | =Wärmekapazität= | ||
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung | Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung | ||
<math>C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X</math> | |||
?Elektronen | ?Elektronen | ||
* T³ | |||
?Photonen | ?Photonen | ||
*schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³ | |||
?klassisch | ?klassisch | ||
*Tiefemperatur | |||
*sättigung | |||
[[File:DiatomicSpecHeat1.png|miniatur|Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas]] | |||
=GKSO= | =GKSO= | ||
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=Zustandssumme= | =Zustandssumme= | ||
kanonische Verteilung <math>Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\ | kanonische Verteilung <math>Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\sum_\alpha e^{-\lambda_n A_\alpha^n}</math>{{Quelle|St7B|5.4.15|S47}} | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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Wie erhält man sie | Wie erhält man sie | ||
*kalorisch | |||
leite P | |||
*thermisch | |||
leite Potential nach Volumen ab --> p | |||
*chemisch | |||
=Zustandsdichte= | =Zustandsdichte= | ||
Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren. | Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren. | ||
<math>D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.</math> | :<math>D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.</math> | ||
[http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsdichte] | [http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsdichte] | ||
=Enthalpie= | =Enthalpie= | ||
<math>H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V</math> | :<math>H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V</math> | ||
{{Quelle|St7B|3.6.1|S27}} | {{Quelle|St7B|3.6.1|S27}} | ||
<math>dH=T dS+V dp + \mu dN</math> | {{Quelle|St7B|1.5.2|S9}} | ||
:<math>dH=T dS+V dp + \mu dN</math> | |||
dU: änderung der inneren Energie | dU: änderung der inneren Energie | ||
d(pV) Änderung der Volumenarbeit | d(pV) Änderung der Volumenarbeit | ||
=Freie Energie= | =Freie Energie= | ||
Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig | |||
Zusammenhang mit Zustandssumme <math>F(T,V,N)-kT \operatorname{ln} Z_k</math> | |||
also dem kanonischen Ensemble zugeordnet | |||
thermodynamisches Potential | |||
*partielle Ableitung? | |||
=Großkanonisches Potential= | =Großkanonisches Potential= | ||
[http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkanonisches_Potential] | [http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkanonisches_Potential] | ||
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=Temperatur= | =Temperatur= | ||
<math>T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}</math> | :<math>T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}</math> | ||
mikroskopisches Ensemble | mikroskopisches Ensemble | ||
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=Dichtematrixgleichung= | =Dichtematrixgleichung= | ||
Gleichgewicht | |||
Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat | |||
anschaulich keine Übergänge finden statt | |||
herleitung | |||
Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule | |||
=Mittelwert= | =Mittelwert= | ||
:<math>\left\langle f\left( X \right) \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{dxp\left( x \right)f\left( x \right)}}</math> | |||
mit delta verknüpft | |||
für das normalerweise gilt | |||
:<math>\underset{\varepsilon ->0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }p\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right)</math> | |||
{{Quelle|St7B|5.3.8}} | |||
=Ensemble Theorie= | |||
Liste: | |||
mikrokanonisch N,V,E | |||
kanonisch NTV →F | |||
großkanonisch µ V T \Omeaga | |||
(kanonisch harmonisch) N P T | |||
Skizzen | |||
=Hohlraumstrahlung= | |||
=Plancksche Strahlungsformel= | |||
-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian | |||
spin der Photonen beachten (polarisationszustand) | |||
Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V | |||
=Potentialtopf= | =Potentialtopf= | ||
<math>\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math> | :<math>\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math> | ||
<math> | :<math> | ||
{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) </math>mit | {{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) </math>mit | ||
<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> | :<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> | ||
:<math>\begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ \end{align}</math> | |||
[[Quantentheoretischer Zugang]] | |||
=Druck= | |||
:<math>p=\frac{\partial F} {\partial V}</math> | |||
isoliertes System: | |||
:<math>p=-\frac{\partial E} {\partial V}</math> {{Quelle|St7B|1.2.1|S4}} Energie,Volumen | |||
=kanonisches Ensemble= | |||
Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} | |||
N,V Fest | |||
:<math>\mu = \frac{1}{\beta} \partial_N ln Z</math> | |||
Energieeigenmwerte \epsilon_r | |||
:<math> | |||
Z=\sum_r exp(-\beta \epsilon_r)</math> | |||
=mikrokanonisches Ensemble (Definition)= | |||
*Konstanz der Gesamtenergie | |||
=Übergang Stat M zu Thermodyn= | |||
1/T=dS/dE | |||
=von Neumann Gleichung= | |||
=Mastergleichung= | |||
=statistischer Operator= | |||
*Entropiedefinition | |||
*Interpreation | |||
=Großkanonischer Operator= | |||
Was kann man damit bereichen | |||
Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir | |||
=siehe auch= | =siehe auch= | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Kategorie:Thermodynamik]] | |||
[[Kategorie:Prüfung]] |
Aktuelle Version vom 20. September 2010, 10:56 Uhr
Warum betreibt man statistische Physik
- Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
- Mangel an Informationen → Mangel an Fragen
Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände )
BILD
Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand siehe auch [1]
Was sind die Konzepte der statistischen Physik
-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.
Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Entropie: Maß des Nichtwissens-
Shannon Information
Shannon Information [2]
Minimierung der Shannon-Information
Variation unter NB ist eine Observable Annahme N_m andere Observable
D[x Log[x], x]=Log[x]+1
verallgmeinerte kanonische Verteilung
?Volumenabhängigkeit
- E hängt von V ab
--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion
--> größeres Volumen mehr zustände --> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links
Entropie
Über negative Shannon Info *k
Über Dichtematrix/operator
Minimum bei reinen Zuständen?
TD
Bose-Einstein-Kondensation
Dichteoperator f kanonisches Ensemble
\alpha Eigenstate
Z Zustandssumme
Bose-Verteilung
Bei Photonen µ=0
hohe Temperatur ?
Kurve schneidet Y nicht
Fermi-Verteilung
T=0 Fermi Energie µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet
Boltzmann-Verteilung
Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)
Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur
gilt bei hoher Energie und geringer dichte
photonen haben kein ch potential
Wärmekapazität
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung
?Elektronen
- T³
?Photonen
- schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³
?klassisch
- Tiefemperatur
- sättigung
GKSO
gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme
Zustandssumme
kanonische Verteilung [5]
Wie kann man Potentiale berechnen?
Zustandsgleichung
Wie erhält man sie
- kalorisch
leite P
- thermisch
leite Potential nach Volumen ab --> p
- chemisch
Zustandsdichte
Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren.
Enthalpie
dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit
Freie Energie
Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme
also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential
- partielle Ableitung?
Großkanonisches Potential
dΩ = − SdT − Ndμ − pdV
Ω = − pV.
thermische Wellenlänge
Temperatur
mikroskopisches Ensemble
chemisches Potential
-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig
Dichtematrixgleichung
Gleichgewicht Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat anschaulich keine Übergänge finden statt
herleitung
Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule
Mittelwert
mit delta verknüpft für das normalerweise gilt
Ensemble Theorie
Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV →F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T
Skizzen
Hohlraumstrahlung
Plancksche Strahlungsformel
-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian spin der Photonen beachten (polarisationszustand) Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V
Potentialtopf
Druck
isoliertes System:
- [9] Energie,Volumen
kanonisches Ensemble
Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest
Energieeigenmwerte \epsilon_r
mikrokanonisches Ensemble (Definition)
- Konstanz der Gesamtenergie
Übergang Stat M zu Thermodyn
1/T=dS/dE
von Neumann Gleichung
Mastergleichung
statistischer Operator
- Entropiedefinition
- Interpreation
Großkanonischer Operator
Was kann man damit bereichen Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir
siehe auch
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, (Kap 5.2)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.4.5) (S 45)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.5.7) (S 48)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.15 (S47)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 3.6.1 (S27)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.5.2 (S9)
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.3.8
- ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.2.1 (S4)