Prüfungsfragen:Statistische Physik: Unterschied zwischen den Versionen

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=Warum betreibt man statistische Physik=
=Warum betreibt man statistische Physik=
<noinclude>{{Frage| statistische Physik}}</noinclude>
<noinclude>{{Frage| statistische Physik}}</noinclude>
*Beschreibung von Vielteilchensystemen --> viele Freiheitsgrade-->unmöglich Lösung anzugeben
*Beschreibung von Vielteilchensystemen viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
*Mangel an Informationen --> Mangel an Fragen
*Mangel an Informationen Mangel an Fragen




Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden
Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände <math> \Psi_i </math> )
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände <math> \Psi_i </math>)


BILD
BILD
<math>G_\nu</math> als Funktion von <math>\lambda_\nu, h_\alpha</math> auffassen
:<math>G_\nu</math> als Funktion von <math>\lambda_\nu, h_\alpha</math> auffassen
 
Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand
siehe auch {{Quelle|St7B||Kap 5.2}}


=Was sind die Konzepte der statistischen Physik=
=Was sind die Konzepte der statistischen Physik=
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=Shannon Information=
=Shannon Information=
Shannon Information <math>I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.4.5)|S 45}}
Shannon Information <math>I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.4.5)|S 45}}
*<math>I \left[ p_\alpha \right] \le 0 </math>
*<math>{{p}_{\alpha }}=0\to I\left[ {{p}_{\alpha }} \right]=0</math> maximal bei scharfer Verteilung


= Minimierung der Shannon-Information=
= Minimierung der Shannon-Information=
[[Verallgemeinerte_kanonische_Verteilung|Schöll S21]]
[[Verallgemeinerte kanonische Verteilung|Schöll S21]]
<math>\lambda= -(\Psi +1)</math>
:<math>\lambda= -(\Psi +1)</math>
Variation unter NB <math>\sum_\alpha p_\alpha=1</math> ist eine Observable
Variation unter NB <math>\sum_\alpha p_\alpha=1</math> ist eine Observable
Annahme N_m andere Observable
Annahme N_m andere Observable
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<math>0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)</math>{{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}
:<math>0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)</math>{{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}


<math>p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)</math>
:<math>p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)</math>


<math>\Psi=-1-\lambda_0</math>
:<math>\Psi=-1-\lambda_0</math>


= verallgmeinerte kanonische Verteilung=
= verallgmeinerte kanonische Verteilung=
?Volumenabhängigkeit
?Volumenabhängigkeit
*E hängt von V ab
--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion


--> größeres Volumen mehr zustände
--> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links


=Entropie=
=Entropie=
Über negative Shannon Info *k
Über negative Shannon Info *k
<math>S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.5.7)|S 48}}
:<math>S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha</math> {{Quelle|St7B|(5.5.7)|S 48}}


Über Dichtematrix/operator
Über Dichtematrix/operator
<math>S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho  \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha </math>
:<math>S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho  \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha </math>


Minimum bei reinen Zuständen?
Minimum bei reinen Zuständen?
<math>S(\rho) \ge 0</math>
:<math>S(\rho) \ge 0</math>


TD
TD
<math>dS=\frac{dQ}{T}</math>
:<math>dS=\frac{dQ}{T}</math>


=Bose-Einstein-Kondensation=
=Bose-Einstein-Kondensation=
=Dichteoperator f kanonisches Ensemble=
:<math>\rho= \sum_alpha p_\alpha ketbra{\alpha}{\alpha}</math>
\alpha Eigenstate
:<math>p_\alpha=\frac{1}{Z}exp(-\beta \epsilon_\alpha)</math>
Z Zustandssumme
=Bose-Verteilung=
=Bose-Verteilung=
<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>
:<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>


Bei Photonen µ=0
Bei Photonen µ=0
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=Fermi-Verteilung=
=Fermi-Verteilung=
<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>
:<math>\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1}</math>,<math>\beta=\frac{1}{kT}</math>
T=0 Fermi Energie
T=0 Fermi Energie
µ->E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet
µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet
[[Bild:Fermi_dirac_distr.svg]]
[[Bild:Fermi dirac distr.svg]]


=Boltzmann-Verteilung=
=Boltzmann-Verteilung=


<math>    \langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }</math>  
:<math>    \langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }</math>  
Schneidet bei 1
Schneidet bei 1
ideales Gas (kein eWW)
ideales Gas (kein eWW)
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Chemisches Potential?  
Chemisches Potential?  
klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur
klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur
gilt bei hoher Energie und geringer dichte
photonen haben kein ch potential


=Wärmekapazität=
=Wärmekapazität=
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung
    C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X  
<math>C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X</math>


?Elektronen
?Elektronen
* T³
?Photonen
?Photonen
*schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³
?klassisch
?klassisch
*Tiefemperatur
*sättigung


[[File:DiatomicSpecHeat1.png|miniatur|Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas]]


=GKSO=
=GKSO=
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=Zustandssumme=
=Zustandssumme=
kanonische Verteilung <math>Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\sum_alpha e^{-\lambda_n A_\alpha^n}</math>{{Quelle|St7B|5.4.15|S47}}
kanonische Verteilung <math>Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\sum_\alpha e^{-\lambda_n A_\alpha^n}</math>{{Quelle|St7B|5.4.15|S47}}


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Wie erhält man sie
Wie erhält man sie
*kalorisch
leite P
*thermisch
leite Potential nach Volumen ab --> p
*chemisch


=Zustandsdichte=
=Zustandsdichte=
Die Zustandsdichte D(E)  bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE]  bzw. [ω,ω + dω] existieren.
Die Zustandsdichte D(E)  bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE]  bzw. [ω,ω + dω] existieren.
<math>D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.</math>
:<math>D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.</math>
[http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsdichte]
[http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsdichte]


=Enthalpie=
=Enthalpie=
<math>H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V</math>
:<math>H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V</math>
{{Quelle|St7B|3.6.1|S27}}
{{Quelle|St7B|3.6.1|S27}}
<math>dH=T dS+V dp + \mu dN</math>
{{Quelle|St7B|1.5.2|S9}}
:<math>dH=T dS+V dp + \mu dN</math>
dU: änderung der inneren Energie
dU: änderung der inneren Energie
d(pV) Änderung der Volumenarbeit
d(pV) Änderung der Volumenarbeit
=Freie Energie=
=Freie Energie=
Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig
Zusammenhang mit Zustandssumme <math>F(T,V,N)-kT \operatorname{ln} Z_k</math>
also dem kanonischen Ensemble zugeordnet
thermodynamisches Potential
*partielle Ableitung?
=Großkanonisches Potential=
=Großkanonisches Potential=
[http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkanonisches_Potential]
[http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkanonisches_Potential]
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=Temperatur=
=Temperatur=


<math>T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}</math>
:<math>T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}</math>


mikroskopisches Ensemble
mikroskopisches Ensemble
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=Dichtematrixgleichung=
=Dichtematrixgleichung=
Gleichgewicht
Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat
anschaulich keine Übergänge finden statt
herleitung
Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule


=Mittelwert=
=Mittelwert=
:<math>\left\langle f\left( X \right) \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{dxp\left( x \right)f\left( x \right)}}</math>
mit delta verknüpft
für das normalerweise gilt
:<math>\underset{\varepsilon ->0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }p\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right)</math>
{{Quelle|St7B|5.3.8}}
=Ensemble Theorie=
Liste:
mikrokanonisch N,V,E
kanonisch NTV →F
großkanonisch µ V T \Omeaga
(kanonisch harmonisch) N P T
Skizzen
=Hohlraumstrahlung=
=Plancksche Strahlungsformel=
-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble  zumme über zustände im hamiltonian
spin der Photonen beachten (polarisationszustand)
Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V
=Potentialtopf=
=Potentialtopf=


<math>\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math>  
:<math>\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}</math>  


<math>
:<math>
{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) </math>mit  
{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) </math>mit  


<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>
:<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>
 
:<math>\begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ \end{align}</math>
 
[[Quantentheoretischer Zugang]]
=Druck=
:<math>p=\frac{\partial F} {\partial V}</math>
 
isoliertes System:
:<math>p=-\frac{\partial E} {\partial V}</math> {{Quelle|St7B|1.2.1|S4}} Energie,Volumen
 
=kanonisches Ensemble=
Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H}
N,V Fest
:<math>\mu = \frac{1}{\beta} \partial_N ln Z</math>
Energieeigenmwerte \epsilon_r
:<math>
Z=\sum_r exp(-\beta \epsilon_r)</math>
 
=mikrokanonisches Ensemble (Definition)=
*Konstanz der Gesamtenergie
 
=Übergang Stat M zu Thermodyn=
1/T=dS/dE
 
=von Neumann Gleichung=
=Mastergleichung=
=statistischer Operator=
*Entropiedefinition
*Interpreation


[[Quantentheoretischer_Zugang]]
=Großkanonischer Operator=
Was kann man damit bereichen
Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir


=siehe auch=
=siehe auch=
<references />
<references />
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Prüfung]]

Aktuelle Version vom 20. September 2010, 10:56 Uhr

Warum betreibt man statistische Physik

Vorlage:Frage

  • Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
  • Mangel an Informationen → Mangel an Fragen


Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände Ψi)

BILD

Gν als Funktion von λν,hα auffassen

Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand siehe auch [1]

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information I[pα]:=αpαlnpα [2]

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21

λ=(Ψ+1)

Variation unter NB αpα=1 ist eine Observable Annahme N_m andere Observable


D[x Log[x], x]=Log[x]+1


0=αδpα(lnpα+1+n=1NMλnAαn)[3]
pα=exp(ΨλnAαn)
Ψ=1λ0

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

  • E hängt von V ab

--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion

--> größeres Volumen mehr zustände --> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links

Entropie

Über negative Shannon Info *k

S:=kI[pα]=kαpαlnpα [4]

Über Dichtematrix/operator

S:=klnρ=kTr(lnρ=kαpαlnpα

Minimum bei reinen Zuständen?

S(ρ)0

TD

dS=dQT

Bose-Einstein-Kondensation

Dichteoperator f kanonisches Ensemble

ρ=alphapαketbraαα

\alpha Eigenstate

pα=1Zexp(βϵα)

Z Zustandssumme

Bose-Verteilung

n(E)=1eβ(Eμ)1,β=1kT

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

Fermi-Verteilung

n(E)=1eβ(Eμ)+1,β=1kT

T=0 Fermi Energie µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet

Boltzmann-Verteilung

n(Ei)=1eβ(Eiμ)

Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

gilt bei hoher Energie und geringer dichte

photonen haben kein ch potential

Wärmekapazität

Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung CX=δQdT|X

?Elektronen

?Photonen

  • schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³

?klassisch

  • Tiefemperatur
  • sättigung
Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme


Zustandssumme

kanonische Verteilung Z=eψ=e1+λ0=αeλnAαn[5]

Zk(N,V,T)=ieβEi.Zgk(μ,V,T)=ieβ(EiμNi)Zm(U,N,V)=Eψ(N,V)U1Zm(U,N,V)=H(p,q,N,V)Ud3Npd3Nqh3NN!

Wie kann man Potentiale berechnen?

S(N,V,E)=kBlogZm(N,V,E)F(N,V,T)=kBTlogZk(N,V,T)Ω(μ,V,T)=kBTlogZg(μ,V,T)

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

  • kalorisch

leite P

  • thermisch

leite Potential nach Volumen ab --> p

  • chemisch

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren.

D(E)=2ddE(N(E)V)mitV=LxLyLz.

[2]

Enthalpie

H:=U+pV:=U(S,V,N)UVS,NV

[6] [7]

dH=TdS+Vdp+μdN

dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Freie Energie

Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme F(T,V,N)kTlnZk

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential


  • partielle Ableitung?

Großkanonisches Potential

[3]

Ω:=FμN=UTSμN
   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas λ=h2πmhT,E=πhT?

Temperatur

T1=SE

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

Dichtematrixgleichung

Gleichgewicht Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat anschaulich keine Übergänge finden statt

herleitung

Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule

Mittelwert

f(X)=n=1dpnf(xn)=dxp(x)f(x)

mit delta verknüpft für das normalerweise gilt

limε>01εp(xε)=δ(x)

[8]

Ensemble Theorie

Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV →F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen

Hohlraumstrahlung

Plancksche Strahlungsformel

-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian spin der Photonen beachten (polarisationszustand) Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V

Potentialtopf

ϵn=2π22mL2
φn(r)=2Lsin(nxπLx)2Lsin(nyπLy)2Lsin(nzπLz)mit
k(L2π)3d3k
φk=1Veik.r,ki=2πLmi,mik.r=ikixi

Quantentheoretischer Zugang

Druck

p=FV

isoliertes System:

p=EV [9] Energie,Volumen

kanonisches Ensemble

Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest

μ=1βNlnZ

Energieeigenmwerte \epsilon_r

Z=rexp(βϵr)

mikrokanonisches Ensemble (Definition)

  • Konstanz der Gesamtenergie

Übergang Stat M zu Thermodyn

1/T=dS/dE

von Neumann Gleichung

Mastergleichung

statistischer Operator

  • Entropiedefinition
  • Interpreation

Großkanonischer Operator

Was kann man damit bereichen Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir

siehe auch

  1. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, (Kap 5.2)
  2. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.4.5) (S 45)
  3. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46)
  4. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.5.7) (S 48)
  5. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.15 (S47)
  6. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 3.6.1 (S27)
  7. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.5.2 (S9)
  8. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.3.8
  9. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.2.1 (S4)