Klein Gordon Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein quantenmechanisches {{FB|Wellenpaket}} hat die Form
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Ein quantenmechanisches Wellenpaket{{FB|Wellenpaket}} hat die Form
:wobei d die Raumdimension angibt.
 
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wobei d die Raumdimension angibt.
 
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:führt.
führt.


Relativistisch (SRT) gilt
Relativistisch (SRT) gilt
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:wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.


wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.
<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>
 
Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.


Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}:
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}:
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& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\
& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{*}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{*}} \right) \\
& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\
& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{*}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{*}} \right) \\
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Allerdings gilt
Allerdings gilt
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& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\
& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\
& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0
& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0
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* Schreibweise
* Schreibweise
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:<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math>
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mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der <u>Compton-Wellenlänge{{FB|Compton-Wellenlänge}}</u> als charakteristische Längenskala.
mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala.
Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der d’Alambert-Operator{{FB|d’Alambert-Operator}}.
Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der {{FB|d’Alambert-Operator}}.
 
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==Literatur==
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>
 
[[Klein-_Gordon-_Gleichung|Schöll-Script]]
 
==Siehe auch==
[[Klein-Gordon-Gleichung]]
</noinclude>

Aktuelle Version vom 9. April 2012, 17:17 Uhr


Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form

Ψ(x_,t)=(2π)d2φ(k_)eiω(k_)t+ik_.x_ddk_      ((1.1))
wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch) ω(k_)=k22mmit =1      ((1.2))
was auf die Schrödingergleichung
itΨ=H^Ψ,H^=Δ2m
     ((1.3))
führt.

Relativistisch (SRT) gilt

ω(k_)=k_2+m2      ((1.4))
wegen E=m2c4+p_2c2 und p_=k.

Ab jetzt gilt c=1.

Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung (t2Δ+m2)Ψ(x_,t)=0
     ((1.5))


Es gilt die (AUFGABE)

Kontinuitätsgleichung tρ+.j_=0      ((1.6))
mit
j_=12im(Ψ*ΨΨΨ*)ρ12m(Ψ*tΨΨtΨ*)
     ((1.7))


Dabei ist die Stromdichte (j_) wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!

Allerdings gilt

ρ(x_,t)ddx_=(12π)d1mφ*(k_)φ(k_)ei(k_k_)x_ω(k_)ddxddkddk=1mω(k_)|φ(k_)|2ddk_>0 fürω(k_)>0.

Diskurssion:

  • Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung(t2Δ)Ψ=0.
  • Auch ein Wellenpaket mit ω(k_)=k_2+m2erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
  • Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem (Ψ(t=0)Ψ(t>0)) nur lösbar bei zusätzlicher Angabe vontΨ|t=0.
  • Schreibweise
(+m2c22)Ψ=0
     ((1.8))

mit mcder Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist =μμ=c2t2Δ der d’Alambert-Operator.


Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG

Schöll-Script

Siehe auch

Klein-Gordon-Gleichung