Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen
*>SchuBot
Einrückungen Mathematik
K hat „Thermodynamik“ nach „Übersicht:Thermodynamik“ verschoben
 
(Eine dazwischenliegende Version von einem anderen Benutzer wird nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
==klassische Mechanik==
==klassische Mechanik==
* Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
* Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
* Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
* Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
* Lösungen Trajektorien im Phasenraum
* Lösungen Trajektorien im Phasenraum
==Satz von Liouville==
==Satz von Liouville==
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung
--> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
--> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>
Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>
==Zustand==
==Zustand==
:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi  \right){{M}^{\nu }}\left( \xi  \right)}</math>
:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi  \right){{M}^{\nu }}\left( \xi  \right)}</math>
Zeile 16: Zeile 16:
*Information: Welches Ereignis tritt ein?
*Information: Welches Ereignis tritt ein?
*Wie viel weiß ich von meinem System?
*Wie viel weiß ich von meinem System?
*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> --> schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>
*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>
===minimum===
===minimum===
*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math>
*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math>
Zeile 67: Zeile 67:
** Entropie = fehlende Kenntnis
** Entropie = fehlende Kenntnis
** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)</math>
** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle  \right)</math>
** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, --> kann Entropie (S) nicht abnehmen
** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, kann Entropie (S) nicht abnehmen
** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
Zeile 81: Zeile 81:
* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>
* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>
* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
* --> die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>
* die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>
==Situation in der QM==
==Situation in der QM==
* Microzustände <math>\left| \psi  \right\rangle \in \mathcal{H}</math>
* Microzustände <math>\left| \psi  \right\rangle \in \mathcal{H}</math>

Aktuelle Version vom 16. September 2010, 21:26 Uhr

klassische Mechanik

  • Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik

→ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten

  • Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
  • Lösungen Trajektorien im Phasenraum

Satz von Liouville

Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung → gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen → Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen I(t1)I(t2) mit t1<t2

Zustand

Mν=dξρ(ξ)Mν(ξ)

(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen

ρ(ξ)=exp(ψλνMν(ξ))=z1exp(λνMν(ξ)) mit z=eψ=eλνMν(ξ)dξ

Shannon-Information

minimum

  • Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- >I(P)<0 Variation der Pi umδPi

mit 1 Nebendbedingung iPi=1 führt unter Verwendung eines Lagrange-Parametersλ zu

I(P)=PilnPi+λ(Pi1)

die Variation, also δI(P)=(lnPi+1)δPi

lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen

(lnPi)=(λ+1)=const.

so erhält man wegen der Normierung (iPi=1) die

GleichverteilungPi=1N

Nebenbedingungen

Fundamentalbeziehung

I(P)=iPilnPi=iPilnexp(ψλνMiν)=ψiPi1λνiPiMiν=ψλνMν
dI=λνdMν

Beziehungen

Kullback-Information

Situation in der QM

Phänomenologische Thermodynamik

1. Hauptsatz

2. Hauptsatz

  • Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden
  • δSδQT