Übersicht:Thermodynamik: Unterschied zwischen den Versionen
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
K hat „Thermodynamik“ nach „Übersicht:Thermodynamik“ verschoben |
||
(Eine dazwischenliegende Version von einem anderen Benutzer wird nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
==klassische Mechanik== | ==klassische Mechanik== | ||
* Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik | * Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik | ||
→ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten | |||
* Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen | * Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen | ||
* Lösungen Trajektorien im Phasenraum | * Lösungen Trajektorien im Phasenraum | ||
==Satz von Liouville== | ==Satz von Liouville== | ||
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung | Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung | ||
→ gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen | |||
→ Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math> | |||
==Zustand== | ==Zustand== | ||
:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math> | :<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math> | ||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
*Information: Welches Ereignis tritt ein? | *Information: Welches Ereignis tritt ein? | ||
*Wie viel weiß ich von meinem System? | *Wie viel weiß ich von meinem System? | ||
*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> | *'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> → schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math> | ||
===minimum=== | ===minimum=== | ||
*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math> | *Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math> | ||
Zeile 67: | Zeile 67: | ||
** Entropie = fehlende Kenntnis | ** Entropie = fehlende Kenntnis | ||
** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math> | ** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math> | ||
** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, | ** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, → kann Entropie (S) nicht abnehmen | ||
** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math> | ** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math> | ||
** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen | ** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen | ||
Zeile 81: | Zeile 81: | ||
* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> | * mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> | ||
* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math> | * der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math> | ||
* | * → die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math> | ||
==Situation in der QM== | ==Situation in der QM== | ||
* Microzustände <math>\left| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math> | * Microzustände <math>\left| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math> |
Aktuelle Version vom 16. September 2010, 21:26 Uhr
klassische Mechanik
- Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
→ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
- Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
- Lösungen Trajektorien im Phasenraum
Satz von Liouville
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung → gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen → Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen mit
Zustand
(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen
Shannon-Information
- Information: Welches Ereignis tritt ein?
- Wie viel weiß ich von meinem System?
- Maximum → schafte Verteilung
minimum
mit 1 Nebendbedingung führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters zu
lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen
so erhält man wegen der Normierung () die
Nebenbedingungen
- führt zum Informationstheoretischen Prinzip nach Jaynes
- Wahrscheinlichkeitsverteilung die die minimale Information enthält bei Erfüllung aller bekannten Nebenbedingungen
- Variationsverfahren mit Nebenbedingungen
- Shannon-Information soll minimal werden
- Es gibt m+1 Nebenbedingungen:
- führt zur Variation
- daraus erhält man die verallgemeinerte kanonische Verteilung
- die m+1 Lagrange-Multiplikatoren sind also eindeutig bestimmt
- , da
Fundamentalbeziehung
Beziehungen
Kullback-Information
- Informationsgewinn
- Minium Variation mit NB:
- Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
- Mit Dichtematrix
- Für Druckensemble und nicht im Gleichgewichtszustand folgt
- mit Energie
- der Informationsgewinn kann nur abnehmen mit
- → die Entropieproduktion ist ststs
Situation in der QM
- Microzustände
- Microobservablen (durch Maximalmessung (Satz von vertauschbaren Observabelen)) Operator
- Messert Eigenwert zum Eingenzustand
- Erwartungwert
- vorurteilsfreie Schätzung durch Maximalmessung