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| \end{matrix} \right)</math> | | \end{matrix} \right)</math> |
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| als langsam zeitabhängige Funktion ! | | als langsam zeitabhängige Funktion! |
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| Es folgt: | | Es folgt: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen ( Übungsaufgabe !) | | Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!) |
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| Also folgt die Bewegungsgleichung für <math>{{\phi }_{a}}</math> | | Also folgt die Bewegungsgleichung für <math>{{\phi }_{a}}</math> |
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| dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin <math>\pm \frac{\hbar }{2}</math> | | dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin <math>\pm \frac{\hbar }{2}</math> |
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| ( vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2: | | (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2: |
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| :<math>\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }=\frac{e}{{{m}_{0}}}\frac{\hbar }{2}\bar{\sigma }=g\frac{e}{{{m}_{0}}}\bar{S}</math> | | :<math>\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }=\frac{e}{{{m}_{0}}}\frac{\hbar }{2}\bar{\sigma }=g\frac{e}{{{m}_{0}}}\bar{S}</math> |
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| Ableitung der Spin- Bahn- Kopplung für <math>\bar{A}=0</math> | | Ableitung der Spin- Bahn- Kopplung für <math>\bar{A}=0</math> |
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| und symmetrisches V( r): | | und symmetrisches V(r): |
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| ====Bahn- Drehimpuls:==== | | ====Bahn- Drehimpuls:==== |
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| Dies ist leicht zu zeigen ! | | Dies ist leicht zu zeigen! |
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| Wichtig: <math>{{\bar{L}}^{\mu }}</math> | | Wichtig: <math>{{\bar{L}}^{\mu }}</math> |
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| : | | : |
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| ( Vergl. Schwabl Seite 215 ff.) | | (Vergl. Schwabl Seite 215 ff.) |
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| :<math>\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left( \frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)-\frac{{{p}^{4}}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L} \right){{\phi }_{a}}</math> | | :<math>\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left( \frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)-\frac{{{p}^{4}}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L} \right){{\phi }_{a}}</math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Der nichtrelativistische Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:
nur Ruheenergie
Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:
Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:
Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:
Ankopplung an das elektromagnetische Feld:
Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale
über die Ladung e
Klassisch wissen wir:
In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:
Dabei setzen wir für
den kanonischen Impuls
und führen den kinetischen Impuls ein gemäß
Als Lösungsansatz wählen wir
Wobei
zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit
bezeichnet.
Auch
besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit
Damit zerfällt die Dirac- Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:
Als Ansatz wählen wir
für
Also Zerlegung in
als schnelle zeitliche Oszillation und
als langsam zeitabhängige Funktion!
Es folgt:
Nichtrelativistische Näherung:
eingesetzt in
Man kann zeigen:
Remember:
Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)
Also folgt die Bewegungsgleichung für
dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin
(vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:
Vergl. S. 94
Interpretation des vierkomponentigen Spinors:
Teilchen- Freiheitsgrad:
Antiteilchen Freiheitsgrad:
Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung
Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung
Ableitung der Spin- Bahn- Kopplung für
und symmetrisches V(r):
Bahn- Drehimpuls:
Mit
aus dem Bahn- Raum und
aus dem Spinor- Raum
Gesamt- Drehimpuls
Dabei ist
eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:
Dies ist leicht zu zeigen!
Wichtig:
ist keine Konstante der Bewegung
Entwicklung der Dirac- Gleichung für
bis zur ersten Ordnung in
mit
liefert mit
(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)
Also eine Spin- Bahn- Kopplung von