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| :<math>\bar{L}</math> | | :<math>\bar{L}</math> |
| nicht parallel zu | | nicht parallel zu |
| | :<math>\bar{\omega }</math>, |
| | nur falls |
| :<math>\bar{\omega }</math> | | :<math>\bar{\omega }</math> |
| , nur falls
| | in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt! |
| :<math>\bar{\omega }</math>
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| in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt ! | |
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| ====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls==== | | ====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls==== |
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| :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math> | | :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>. |
| . Dabei sind
| | Dabei sind |
| :<math>{{\bar{F}}_{i}}</math> | | :<math>{{\bar{F}}_{i}}</math> |
| äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft | | äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft |
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| Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant. | | Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant. |
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| Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen . | | Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen. |
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| Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System | | Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System |
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| Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung | | Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung |
| :<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math> | | :<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>, |
| , die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.
| | die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert. |
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| Also: | | Also: |
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| Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls | | Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls |
| :<math>\bar{\bar{J}}</math> | | :<math>\bar{\bar{J}}</math> |
| diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem): | | diagonal (Hauptträgheitsachsensystem): |
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| :<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math> | | :<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>, |
| , also
| | also |
| :<math>{{\omega }_{3}}=const</math> | | :<math>{{\omega }_{3}}=const</math> |
| im mitrotierenden System | | im mitrotierenden System |
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| Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich: | | Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich: |
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| Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3) | | Dabei ist x3 die Figurenachse (Achse durch die Drehachse von J3) |
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| Es gilt: | | Es gilt: |
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| :<math>\bar{\omega }</math> und <math>\bar{f}</math> | | :<math>\bar{\omega }</math> und <math>\bar{f}</math> |
| präzedieren um die raumfeste Achse | | präzedieren um die raumfeste Achse |
| :<math>\bar{L}</math> | | :<math>\bar{L}</math>. |
| . Dabei müssen
| | Dabei müssen |
| :<math>\bar{\omega }</math> | | :<math>\bar{\omega }</math>, |
| ,
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| :<math>\bar{f}</math> und <math>\bar{L}</math> | | :<math>\bar{f}</math> und <math>\bar{L}</math> |
| stets in einer Ebene liegen. | | stets in einer Ebene liegen. |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Drehimpuls und Bewegungsgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Drehimpuls
- diskret:
- Mit
als Schwerpunktsdrehimpuls
als Relativdrehimpuls
- kontinuierliche Situation
Also:
Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:
Nebenbemerkung:
Im Allgemeinen ist
nicht parallel zu
- ,
nur falls
in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt!
Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls
- .
Dabei sind
äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft
soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:
Somit:
Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:
(Newton)
Gleichzeitig gilt:
Somit:
Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.
Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen.
Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System
erfolgen:
Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung
- ,
die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.
Also:
Somit gilt für das körperfeste System
Mit
folgt im körperfesten System,wo gilt:
=0
Dies ist eine nichtlineare DGL in
Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls
diagonal (Hauptträgheitsachsensystem):
Beispiel: Symmetrischer Kreisel:
- ,
also
im mitrotierenden System
Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten
und der Zusammenfassung
folgt:
Dies kann in
eingesetzt werden und es ergibt sich:
Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:
Dabei ist x3 die Figurenachse (Achse durch die Drehachse von J3)
Es gilt:
Das heißt
und damit auch
- mit
rotieren um die Figurenachse
Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen, so gilt mit
- und
präzedieren um die raumfeste Achse
- .
Dabei müssen
- ,
- und
stets in einer Ebene liegen.
Anwendung:
Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:
Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:
Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!
rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>