Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie	Relativistische Quntenmechanik
	Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie Klein- Gordon- Gleichung Dirac- Gleichung für Elektronen Der nichtrelativistische Grenzfall Das Wasserstoffatom (relativistsich)	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird !

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!

Also: ${{\bar {r}}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}={\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute {\ }}^{2}}$

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !

Formalisierung

Der raumzeitliche Abstand

${{\left(ds\right)}^{2}}:={{\left(cdt\right)}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}$

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)

Man kann ${{\left(ds\right)}^{2}}$

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

${\begin{aligned}&{{x}^{0}}:=ct\\&{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors ${\bar {r}}$

es schreibt sich

${{\left(ds\right)}^{2}}={{\left(d{{x}^{0}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{1}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left(d{{x}^{3}}\right)}^{2}}$

Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

${\begin{aligned}&{{x}_{0}}:={{x}^{0}}\\&{{x}_{\alpha }}:=-{{x}^{\alpha }}\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums ${\tilde {V}}$

${\tilde {V}}$

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

${\tilde {V}}=\left\{lineareFunktionale\quad l:V->R\right\}$

es schreibt sich

${{\left(ds\right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}$

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.

Verallgemeinerung

Für beliebige 4- Vektoren ${{a}^{i}}$

gilt:

${\begin{aligned}&{{a}_{0}}={{a}^{0}}\\&{{a}_{\alpha }}=-{{a}^{\alpha }}\quad \alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt ${{a}_{i}}{{a}^{i}}$

schreiben:

Der d´Alemebert-Operator

$\#:=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}=-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}$

Mit

${\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)=:{{\partial }_{i}}$

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

${\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)=:{{\partial }^{i}}$

kontravariant

→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

Also:

$\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}$

Vierergeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{u}^{i}}:={\frac {d{{x}^{i}}}{ds}}\\&ds={{\left(d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}\right)}^{\frac {1}{2}}}=c{{\left[1-{{\left({\frac {1}{c}}{\frac {d{\bar {r}}}{dt}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {1}{2}}}dt\\&ds:={{\left(1-{{\beta }^{2}}\right)}^{\frac {1}{2}}}dt={\frac {c}{\gamma }}dt\\\end{aligned}}$

Dabei gilt:

${\begin{aligned}&\beta :={\frac {v}{c}}={\frac {1}{c}}\left|{\frac {d{\bar {r}}}{dt}}\right|\\&\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&{{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}{\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }}\\\end{aligned}}$

Mit der Eigenzeit

$d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}$

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !

${{u}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}}=1$

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !

Viererimpuls

${\begin{aligned}&{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}\\&\Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\\&{{p}^{0}}={\frac {{{m}_{0}}c}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}=m(v)c={{p}_{0}}\\&{{p}^{\alpha }}={\frac {{{m}_{0}}{{v}^{\alpha }}}{\sqrt {1-{{\left({\frac {v}{c}}\right)}^{2}}}}}=m(v){{v}^{\alpha }}=-{{p}_{\alpha }}\\\end{aligned}}$

Physikalische Bedeutung von ${{p}^{0}}$

Mit der 4-er Kraft: ${{k}^{i}}:={\frac {d}{d\tau }}{{p}^{i}}$

folgt die Leistungsbilanz:

${{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[{\frac {d}{d\tau }}\left({{m}_{0}}c{{u}^{i}}\right)\right]{{u}_{i}}$

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

${\begin{aligned}&{{k}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {{{m}_{0}}c}{2}}{\frac {d}{d\tau }}\left({{u}^{i}}{{u}_{i}}\right)=0\\&{{u}^{i}}{{u}_{i}}=1\\\end{aligned}}$

also lorentzinvariant !

Außerdem gilt:

${\begin{aligned}&{{k}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d}{d\tau }}\left({{p}^{0}}\right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma {\frac {d}{d\tau }}\left({{p}^{0}}\right)+{\frac {\gamma }{c}}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(c{{p}^{0}}\right)-{\bar {k}}{\bar {v}}\right]=0\\&\left(c{{p}^{0}}\right)=Energie\\&{\bar {k}}{\bar {v}}=Leistung\\\end{aligned}}$

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an $\left({{p}^{0}}\right)={\frac {E}{c}}$

, also $E={\frac {{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt {\left(1-{{\beta }^{2}}\right)}}}$

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant ${\begin{aligned}&{{p}^{i}}{{p}_{i}}={\frac {{E}^{2}}{{c}^{2}}}-{{\bar {p}}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\\&{\bar {p}}={\frac {{{m}_{0}}{\bar {v}}}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

Also folgt an die Energie:

${{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar {p}}^{2}}$

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: ${\begin{aligned}&{{A}^{ik}}\\&{{A}^{i}}_{k}\\&{{A}_{i}}^{k}\\&{{A}_{ik}}\\\end{aligned}}$

Es gilt:

${\begin{aligned}&{{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}}\\&{{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}}\\&{{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}}\\&usw...\\\end{aligned}}$

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

$spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}$

- er Einheitstensor

${{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}$

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

${\begin{aligned}&{{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}}\\&{{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{kl}}={{a}^{il}}\\\end{aligned}}$

usw..

Der metrische Tensor

${\begin{aligned}&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f{\ddot {u}}r\ k=0\\&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=-{{\delta }^{i}}_{k}\quad f{\ddot {u}}r\ k=1,2,3\\&{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left({\begin{matrix}1&{}&{}&{}\\{}&-1&{}&{}\\{}&{}&-1&{}\\{}&{}&{}&-1\\\end{matrix}}\right)={{g}_{ik}}\\&{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}_{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=0\Rightarrow {{a}_{i}}={{a}^{i}}\\&{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}=-{{a}_{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=1,2,3\Rightarrow -{{a}_{i}}={{a}^{i}}\\\end{aligned}}$

Also:

${{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f{\ddot {u}}r\ i=0,1,2,3$

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !

Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) $\Sigma \to \Sigma {\acute {\ }}$

${\begin{aligned}&x{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}}\\&{{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

für $v||{{x}^{1}}$

Somit:

${{U}^{k}}_{i}=\left({\begin{matrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

Wobei ${{\gamma }^{2}}={\frac {1}{1-{{\beta }^{2}}}}$

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

${\begin{aligned}&a{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}}\\&b{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{b}^{k}}\Rightarrow b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}_{ik}}{{b}^{k}}={{U}_{i}}^{k}{{b}_{k}}\\&a{{\acute {\ }}^{i}}b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}=!={{a}^{k}}{{b}_{k}}\\&also\Rightarrow :\\&{{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}={{\delta }_{k}}^{l}\\\end{aligned}}$

U ist also eine orthogonale Trafo

Umkehr- Transformation:

${\begin{aligned}&{{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute {\ }}^{k}}\\&{{a}_{i}}={{U}^{k}}_{i}a{{\acute {\ }}_{k}}\\\end{aligned}}$

Denn:

${{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}$

In Matrizenschreibweise:

${\begin{aligned}&{{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\quad \quad {{U}^{k}}_{l}=\left({\begin{matrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&{{U}^{i}}_{k}{{U}^{k}}_{l}=\left({\begin{matrix}{{\gamma }^{2}}-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}&0&0&0\\0&-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}+{{\gamma }^{2}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)={{\delta }^{i}}_{l}\\\end{aligned}}$

Transformationsverhalten des Vierergradienten

${\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}:={{\partial }_{i}}={\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}}{\frac {\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}}={{U}^{k}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute {\ }}_{k}}$

Mit der Identität

${\frac {\partial x{{\acute {\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}}={{U}^{k}}_{i}$

Das heißt jedoch

${\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}$

transformiert sich wie ${{a}_{i}}$

, also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

${\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}:={{\partial }^{i}}={\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}}{\frac {\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}={{U}_{k}}^{i}{\frac {\partial }{\partial x{{\acute {\ }}_{k}}}}$

${\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}$

transformiert sich wie ${{a}^{i}}$

, also kontravariant. ( PRÜFEN !)