Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt	Drehimpuls
	Drehimpuls- Eigenzustände Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses Kugelsymmetrische Potentiale Das Wasserstoffatom Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

$H={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)$

mit kugelsymmetrischem Potenzial

Durch den kinetischen Impulsoperator: $\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)$

ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !

$H={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}\left({{\bar {p}}^{2}}-2e{\bar {A}}{\bar {p}}+{{e}^{2}}{{\bar {A}}^{2}}\right)+V(r)$

Verwende: Coulombeichung: $\nabla \cdot {\bar {A}}=0$

-> ${\bar {A}}{\bar {p}}={\bar {p}}{\bar {A}}$

für Operatoren

${{e}^{2}}{{\bar {A}}^{2}}$

sei für Atome vernachlässigbar, falls $\left\langle {{L}_{3}}\right\rangle \neq 0$

, falls $B<{{10}^{5}}G$

vergl. Schwabl S. 128

Homogenes Magnetfeld: ${\bar {A}}={\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\times {\bar {r}}\right)$

wegen ${\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}={\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\left(\nabla \cdot {\bar {r}}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot \nabla \right){\bar {r}}={\frac {1}{2}}\left(\nabla \times \left({\bar {B}}\times {\bar {r}}\right)\right)={\bar {B}}$

Da ja $\left(\nabla \cdot {\bar {r}}\right)=3,\left({\bar {B}}\cdot \nabla \right){\bar {r}}={\bar {B}}$

Somit:

${\frac {\hbar }{i}}\left({\bar {A}}\cdot \nabla \Psi \right)={\frac {\hbar }{2i}}\left({\bar {B}}\times {\bar {r}}\right)\nabla \Psi ={\frac {\hbar }{2i}}{\bar {B}}\left({\bar {r}}\times \nabla \right)\Psi ={\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {L}}\right)\Psi$

Sei

${\bar {B}}=\left(0,0,B\right)\Rightarrow {\bar {B}}\cdot {\bar {L}}=B{{L}_{3}}$

Schrödinger- Gleichung:

${\begin{aligned}&-{\frac {{\hbar }^{2}}{2{{m}_{0}}}}\Delta \Psi +\left(V-E-{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}B{{L}_{3}}\right)\Psi =0\\&{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi \\\end{aligned}}$

Wobei

${{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi$

für Drehimpuls- Eigenzustände

$\Rightarrow -{\frac {{\hbar }^{2}}{2{{m}_{0}}}}\Delta \Psi +\left(V(r)-E-{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}\hbar mB\right)\Psi =0$

mit

${\frac {e}{2{{m}_{0}}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}$

( magnetisches Moment)

Klassisch:

${\bar {\mu }}=-{\frac {\partial H}{\partial {\bar {B}}}}={\frac {e}{2{{m}_{0}}}}{\bar {L}}$

Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

${\begin{aligned}&{{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}{\bar {B}}={\frac {e{\bar {B}}\cdot {\bar {L}}}{2{{m}_{0}}}}={\frac {eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}}}\\&{{\mu }_{B}}={\frac {\hbar e}{2{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}$

Normaler Zeeman- Effekt:

Atom im homogenen Magnetfeld:

$\left({{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B\right)\Psi =0$

H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld

${\frac {e}{2{{m}_{0}}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}$

${\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}:={{\mu }_{B}}$

Bohrsches Magneton: e<0

${{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}$

$\Rightarrow E={{E}_{nl}}-{\frac {\hbar eB}{2{{m}_{0}}}}m$

-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !

$m=-l,...,+l$

-> Aufspaltung in $2l+1$

- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl

Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt -> Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

H- Atom: l- Entartung

Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !