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| {{Scripthinweis|Mechanik|6}}
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| Bisher betrachtet: System von Massepunkten | | Bisher betrachtet: System von Massepunkten |
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| Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten des Körpers ( starr) im Gegensatz dazu steht die Mechanik der deformierbaren Medien, also Elastomechanik oder Hydrodynamik | | Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten des Körpers ( starr) im Gegensatz dazu steht die Mechanik der deformierbaren Medien, also Elastomechanik oder Hydrodynamik |
| | einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! |
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| ====Definition des starren Körpers:====
| | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|6|0}}</noinclude> |
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| # System von n Massepunkten mit festen Abständen ( Zwangsbedingungen)
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| # Vorgegebene , kontinuierliche Masseverteilung
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| <math>\rho (\bar{r})</math> | |
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| Gesamtmasse:
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| <math>M=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})</math>
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| <u>'''Beschreibung'''</u>
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| # Beschreibung im raumfesten Koordinatensystem (x,y,z) als Inertialsystem.
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| # Beschreibung im körperfesten (intrinsischen) Koordinatensystem
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| <math>\bar{K}</math>
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| . Dieses ist fest mit dem Körper verbunden (x1,x2,x3) und ist im Allgemeinen kein Inertialsystem. Ursprung von
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| <math>\bar{K}</math>
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| ist S, beispielsweise der Schwerpunkt.
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| Der starre Körper hat 6 Freiheitsgrade ( 3 Komponenten Schwerpunktskoordinaten und 3 Winkel zur Orientierung von
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| <math>\bar{K}</math>
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| )
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| ===Kinetische Energie und Trägheitstensor===
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| Betrachten wir eine infinitesimale Verrückung
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| <math>\begin{align}
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| & d\bar{r}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{x}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{\phi }\times \bar{x} \\
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| & d\bar{\phi }:=\bar{n}d\phi \\
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| \end{align}</math>
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| In Kapitel 3.3 haben wir bereits mit infinitesimalen Drehungen gearbeitet. Dort handelte es sich um passive Drehungen. Hier haben wir es nun mit aktiven Drehungen zu tun -> anderes Vorzeichen.
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| <math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math> Schwerpunktsgeschwindigkeit
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| <math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math> Winkelgeschwindigkeit
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| Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:
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| <math>\bar{v}=\bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x}</math>
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| Nebenbemerkungen:
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| <math>\bar{\omega }</math> hängt von der Wahl von S ab.
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| Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}}=0</math>
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| nach Def. A) des starren Körpers
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| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\bar{x}\rho (\bar{x})}=0</math>
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| Definition B) -> Schwerpunktsvektor im körperfesten System
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| <math>\bar{K}</math>
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| :
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| ====Kinetische Energie:====
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| #<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{v}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( V+\omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+V\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}</math>
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| Mit den Beziehungen
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\
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| & \bar{V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0,da\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0 \\
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| & {{\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha ={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}(1-{{\cos }^{2}}\alpha )={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}-{{\left( \bar{\omega }\cdot \bar{x} \right)}^{2}}=\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}{{\omega }^{n}} \\
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| \end{align}</math>
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| Somit folgt:
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| <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{v}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math>
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| mit dem Trägheitstensor
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| <math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>
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| Der Trägheitstensor ist also durch die Massenverteilung bestimmt
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| Im Sinne der Definition B) dagegen gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}}} \\
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| & mit\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}=0} \\
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| \end{align}</math>
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| und dem Trägheitstensor
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| <math>{{J}_{mn}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}</math>
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| Also gilt die Zerlegung der kinetischen Energie:
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}} \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega } \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei ist
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| <math>{{T}_{trans}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}</math>
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| kinetische Energie der translatorischen Bewegung
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| <math>{{T}_{rot}}=\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
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| kinetische Energie der Rotationsbewegung
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| ====Eigenschaften des Trägheitstensors====
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| <math>\bar{\bar{J}}</math>
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| ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen
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| <math>R\in SO(3)</math>
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| transformiert er sich wie folgt:
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| R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im
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| <math>{{R}^{3}}</math>
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| mit Orthogonalitätseigenschaft:
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| <math>R{{R}^{T}}=1,\det R=1</math>
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| Nun , er transformiert sich unter Drehungen wie folgt:
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| Wenn
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| <math>{{x}_{m}}\to {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
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| Dann:
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| <math>{{J}_{mn}}\to {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>
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| Kompakt:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{x}\to \bar{x}\acute{\ }=R\bar{x} \\
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| & \bar{\bar{J}}\to \bar{\bar{J}}\acute{\ }=R\bar{\bar{J}}{{R}^{T}} \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor ( Im Gegensatz zu einer Matrix).
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| Tensor 1. Stufe:
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| <math>{{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
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| = Vektor
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| Tensor 2. Stufe
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| <math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>
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| Tensor n-ter STufe:
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| <math>{{A}_{mn....x}}\acute{\ }=\sum\limits_{l,s,...,t=1}^{3}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}...{{R}_{xt}}{{A}_{ls...t}}}</math>
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| wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird ( und jeweils von 1-3 summiert !)
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| ====Beweis des Transformationsverhaltens für====
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| <math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>
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| Zunächst zum Skalarprodukt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}} \\
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| & \Rightarrow \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}}=\sum\limits_{t}{\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{tl}}{{R}_{ts}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=}\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{\left( \sum\limits_{t}{{}}{{R}_{lt}}^{T}{{R}_{ts}} \right){{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{\delta }_{ls}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{{{x}_{l}}^{2}}}}} \\
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| \end{align}</math>
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| das Skalarprodukt ist also invariant
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| Aber auch das Delta- Element ist invariant:
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| <math>\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{\delta }_{ls}}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{nl}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{\ln }}^{T}={{\delta }_{mn}}}</math>
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| Kompakt:
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| <math>R1{{R}^{T}}=R{{R}^{T}}=1</math>
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{ls}}-{{x}_{l}}^{(i)}{{x}_{s}}^{(i)} \right]} \\
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| & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ } \right] \\
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| \end{align}</math>
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| Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt:
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| Dabei gilt:
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| <math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>
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| ist der invariante Anteil
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| <math>{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ }</math>
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| hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab.
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| <u>'''Weitere Eigenschaften'''</u>
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| #
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| <math>{{J}_{mn}}</math>
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| enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil
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| <math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>
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| #
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| <math>{{J}_{mn}}</math>
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| ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper
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| #
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| <math>{{J}_{mn}}</math>
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| ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix
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| <math>\bar{\bar{J}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left( \begin{matrix}
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| {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} & -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & -{{x}_{1}}{{x}_{3}} \\
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| -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & {{x}_{3}}^{2}+{{x}_{1}}^{2} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} \\
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| -{{x}_{1}}{{x}_{3}} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} & {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \\
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| \end{matrix} \right)}</math>
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| Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation
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| <math>{{R}_{0}}\in SO(3):</math>
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| <math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }={{R}_{0}}\bar{\bar{J}}{{R}_{0}}^{T}=\left( \begin{matrix}
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| {{J}_{1}} & 0 & 0 \\
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| 0 & {{J}_{2}} & 0 \\
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| 0 & 0 & {{J}_{3}} \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3) in Richtung der '''Hauptträgheitsachsen:'''
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| <math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}y\rho (\bar{y})\left( \begin{matrix}
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| {{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2} & 0 & 0 \\
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| 0 & {{y}_{3}}^{2}+{{y}_{1}}^{2} & 0 \\
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| 0 & 0 & {{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2} \\
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| \end{matrix} \right)}</math>
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| Also:
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| <math>{{J}_{i}}\ge 0</math>
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| i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit.
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| Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem:
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| <math>\bar{\bar{J}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}={{J}_{i}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
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| mit Eigenvektoren
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| <math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
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| und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem
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| Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung
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| <math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
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| so zu suchen, dass
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| <math>\bar{\bar{J}}</math>
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| diagonal wird:
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| <math>\Leftrightarrow \det \left( \bar{\bar{J}}-{{J}_{i}}1 \right)=0</math>
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| Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji
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| ====Das Trägheitsmoment====
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| <u>'''Trägheitsmoment bezüglich Achse '''</u>
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| <math>\bar{n}:J(\bar{n}):=\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}</math>
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| Diese quadratische Form ist positiv semidefinit.
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| <math>\bar{\omega }=\bar{n}\omega \Rightarrow T=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}J(\bar{n})</math>
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| <u>'''Trägheitsellipsoid'''</u>
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| Die Normierung des Trägheitsmomentes liefert eine Ellipsoidgleichung:
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| <math>\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}=1</math>
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| .
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| Die Lage des Ellipsoids sind ist durch die Eigenvektoren
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| <math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
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| , die Maße folgen aus den Ji derart, dass die zu
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| <math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
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| gehörige Achse die Länge
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| <math>\frac{1}{\sqrt{{{J}_{i}}}}</math>
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| trägt:
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| # Die Ji heißen Hauptträgheitsmomente ( Trägheitsmomente entlang der Eigenvektoren= Hauptachsen)
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| Es gilt:
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| <math>{{J}_{1}}\ne {{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
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| unsymmetrischer Kreisel
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| <math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
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| symmetrischer Kreisel ( axialsymmetrisch)
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| <math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}</math>
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| kugelsymmetrischer Kreisel ( nicht notwendigerweise Kugelform)
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| ====Satz von Steiner====
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| Sei''' '''
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| <math>{{J}_{mn}}</math>
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| der Trägheitstensor in einem körperfesten System
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| <math>\bar{K}</math>
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| , welches im Schwerpunkt S zentriert ist. Sei nun
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| <math>\bar{K}\acute{\ }</math>
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| ein zu
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| <math>\bar{K}</math>
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| achsparalleles, um den Vektor
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| <math>\bar{a}</math>
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| verschobenes System. Dann ist
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| <math>{{J}_{mn}}\acute{\ }</math>
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| in
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| <math>\bar{K}\acute{\ }</math>
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| gegeben durch
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| <math>{{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]</math>
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| Die beiden Koordinatensystem dürfen dabei nur durch die Translation um
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| <math>\bar{a}</math>
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| unterschiedlich sein. Wesentlich ist vor allem, dass bei roationsvarianten Systemen keine Verdrehung der Achsen erfolgt !
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| Beweis:
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| <math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\acute{\ }}\rho \acute{\ }(\bar{x}\acute{\ })\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}\acute{\ }{{x}_{n}}\acute{\ } \right]</math>
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| Bei uns:
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| <math>\bar{x}\acute{\ }=\bar{x}+\bar{a}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{\left( {{x}_{t}}+{{a}_{t}} \right)}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-\left( {{x}_{m}}+{{a}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}+{{a}_{n}} \right) \right] \\
| |
| & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left[ {{\left( {{x}_{t}} \right)}^{2}}+2\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)+{{a}_{t}}^{2} \right]} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{x}_{m}}{{a}_{n}}-{{x}_{n}}{{a}_{m}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left( {{x}_{m}}{{a}_{n}}+{{x}_{n}}{{a}_{m}} \right)=0\quad wegen\ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\bar{x}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{x}_{t}}^{2}+{{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
| |
| & {{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
| |
| \end{align}</math>
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| '''Speziell im Hauptachsensystem:'''
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| keine Außerdiagonalelemente: m=n:=i
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| <math>{{J}_{i}}\acute{\ }={{J}_{i}}+M({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})\quad i=1,..,3</math>
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| mit
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| <math>({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})</math>
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| als Quadrat des Abstandes der beiden Drehachsen.
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| Dabei wird bei einer Verschiebung um
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| <math>\bar{a}</math>
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| nur der Abstand der Drehachsen berücksichtigt. das heißt, die Komponente der Verschiebung in Richtung der Drehachse wird wieder quadratisch subtrahiert:
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| <u>'''Beispiele'''</u>
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| 1. Kugelsymmetrische Massendichte:
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| <math>\begin{align}
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| & \rho (\bar{x})=\rho (r) \\
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| & {{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}=:J \\
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| & 3J={{J}_{1}}+{{J}_{2}}+{{J}_{3}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)\left[ \left( {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right) \right]=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)2{{r}^{2}} \\
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| & 3J=2\cdot 4\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)} \\
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| \end{align}</math>
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| Bei homogener Massenverteilung:
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| <math>M=\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}</math>
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| bezüglich Schwerpunkt S
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| folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & J=\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)}=\frac{2M}{{{R}^{3}}}\int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}} \\
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| & J=\frac{2}{5}M{{R}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| 2. Abrollende Kugel: Momentaner Auflagepunkt ist A
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| Das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse durch den Auflagepunkt A:
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| <math>{{J}_{A}}=J+M{{R}^{2}}=\frac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>
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| ===Drehimpuls und Bewegungsgleichungen===
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| ====Drehimpuls====
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| # diskret:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
| |
| & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
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| & \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\
| |
| & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Mit
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| <math>M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)</math>
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| als Schwerpunktsdrehimpuls
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| <math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)</math>
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| als Relativdrehimpuls
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| # kontinuierliche Situation
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\
| |
| & \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\
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| \end{align}</math>
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| Also:
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| <math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
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| Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:
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| <math>{{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}</math>
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| Nebenbemerkung:
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| Im Allgemeinen ist
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| <math>\bar{L}</math>
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| nicht parallel zu
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| , nur falls
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !
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| ====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls====
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>
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| . Dabei sind
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| <math>{{\bar{F}}_{i}}</math>
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| äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft
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| <math>\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}</math>
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| soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:
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| <math>\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}</math>
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| Somit:
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>
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| Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:
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| <math>M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})</math>
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| (Newton)
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\
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| & {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>
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| Gleichzeitig gilt:
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>
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| Somit:
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0</math>
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| Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.
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| Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .
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| Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System
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| <math>\bar{K}</math>
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| erfolgen:
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| Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung
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| <math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>
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| , die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.
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| Also:
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| <math>\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times </math>
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| Somit gilt für das körperfeste System
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| <math>\bar{K}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
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| & {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| '''Mit '''
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| <math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
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| '''folgt '''im körperfesten System,wo gilt:
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| <math>\dot{\bar{\bar{J}}}</math>
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| =0
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| <math>\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0</math>
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| Dies ist eine nichtlineare DGL in
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| :
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| Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls
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| <math>\bar{\bar{J}}</math>
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| diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):
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| <math>\begin{align}
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| & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
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| & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
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| & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| '''Beispiel: Symmetrischer Kreisel: '''
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| <math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}</math>
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| <math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>
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| , also
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| <math>{{\omega }_{3}}=const</math>
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| im mitrotierenden System
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| <math>\begin{align}
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| & J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
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| & {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\
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| \end{align}</math>
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| Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten
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| <math>{{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}</math>
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| und der Zusammenfassung
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| <math>{{\omega }_{0}}:=\frac{\left( J-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}}</math>
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| folgt:
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| <math>{{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>
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| Dies kann in
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| <math>J{{\dot{\omega }}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}</math>
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| eingesetzt werden und es ergibt sich:
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| <math>{{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>
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| Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:
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| Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)
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| Es gilt:
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| <math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const</math>
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| <math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const</math>
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| Das heißt
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| und damit auch
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| <math>\bar{L}</math>
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| mit
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| <math>{{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}</math>
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| rotieren um die Figurenachse
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| <math>\bar{f}||{{x}_{3}}</math>
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| Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit '''raumfesten '''Achsen, so gilt mit
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| <math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0\Rightarrow \bar{L}\ fest</math>
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| und
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| <math>\bar{f}</math>
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| präzedieren um die raumfeste Achse
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| <math>\bar{L}</math>
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| . Dabei müssen
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| <math>\bar{\omega }</math>
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| ,
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| <math>\bar{f}</math>
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| und
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| <math>\bar{L}</math>
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| stets in einer Ebene liegen.
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| '''Anwendung:'''
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| Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}\approx \frac{1}{300} \\
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| & \frac{2\pi }{{{\omega }_{3}}}=1Tag \\
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| \end{align}</math>
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| Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:
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| <math>T=\frac{2\pi }{{{\omega }_{0}}}=\frac{2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}=\frac{J}{(J-{{J}_{3}})}\cdot 1Tag=300Tage</math>
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| Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!
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