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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| in Kugelkoordinaten ! | | in Kugelkoordinaten! |
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| :<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math> | | :<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math> |
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| Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | | Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> |
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| .
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| '''Lösung''' | | '''Lösung''' |
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| die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math> | | die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math> |
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| Widerspruch zur Eindeutigkeit !!! | | Widerspruch zur Eindeutigkeit!!! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Für m=l ( Maximalwert) ist | | Für m=l (Maximalwert) ist |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| :<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math> | | :<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math> |
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| → was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert ! | | → was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert! |
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| Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen: | | Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen: |
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| :<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math> | | :<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math> |
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| Die Inversion am Ursprung liefert: ( also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math> | | Die Inversion am Ursprung liefert: (also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math> |
| | | ) |
| ), also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>
| | , also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math> |
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| : | | : |
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| haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math> | | haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math> |
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| ( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !) | | (steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!) |
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| '''1''' | | '''1''' |
| <math>\pm 1</math> | | <math>\pm 1</math> |
| ungerade ( ebenfalls p-Orb.) | | ungerade (ebenfalls p-Orb.) |
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| :<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math> | | :<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math> |
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| n=2, l=1, m=0 | | n=2, l=1, m=0 |
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| Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math> | | Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math> |
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| NULL !) | | NULL!) |
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| :<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math> | | :<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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ergibt:
In Kugelkoordinaten:
Aber:
in Kugelkoordinaten!
Eigenwertgleichung für
.
Lösung
Eindeutigkeit:
Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen
die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen
Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!
Leiteroperatoren:
Für m=l (Maximalwert) ist
Lösung:
Mit dem Normierungsfaktor
Erzeugung der anderen
Normierung:
Mit den Kugelflächenfunktionen
Wobei
Legendre- Polynom l- ten Grades
zugeordnetes Legendre- Polynom
Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase
Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
Dies bedeutet:
oder in einer diskreten Basis:
→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!
Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
Die Inversion am Ursprung liefert: (also:
)
, also
Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände
haben die Parität
(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)
Eigenfunktion
Knotenlinien von
l
m
Bemerkungen/ Parität
0
0
0
gerade (s-Orbitale)
1
1
0
ungerade (p-Orbitale)
1
1
ungerade (ebenfalls p-Orb.)
2
2
0
gerade (d-Orbitale)
2
2
gerade (d-Orbitale)
2
2
gerade (d-Orbitale)
Keine Knotenlinie
n=1 à m=0, l=0
Eine Knotenlinie
n=2, l=1, m=0
Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel
NULL!)
- n=2, l=1, m=
Zwei Knotenlinien
n=3, l=2, m=0
n=3, l=2, m=
n=3, l=2, m=