Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses	Drehimpuls
	Drehimpuls- Eigenzustände Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses Kugelsymmetrische Potentiale Das Wasserstoffatom Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

${\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\right|{\hat {\bar {p}}}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\nabla {{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})\\&\left\langle {\bar {r}}\right|{\bar {r}}\left|l,m\right\rangle ={\bar {r}}{{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

${\hat {\bar {L}}}={\hat {\bar {r}}}\times {\hat {\bar {p}}}$

ergibt:

$\left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{3}}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\left({{\hat {x}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{\hat {x}}_{2}}{{\partial }_{1}}\right){{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})$

In Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}&{{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\&{{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\&{{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\&{{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$

Aber:

${\begin{aligned}&{{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}={\frac {i}{\hbar }}{{\hat {L}}_{z}}\\&\Rightarrow {{\hat {L}}_{z}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$

in Kugelkoordinaten !

$\Rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )$

Eigenwertgleichung für ${{\hat {L}}_{3}}$

.

Lösung

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta )\\&m=-l,...,l\\\end{aligned}}$

Eindeutigkeit:

${\begin{aligned}&{{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left(\phi +2\pi \right)}}\\&\Rightarrow m\in Z\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow$

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen ${{\hat {L}}_{z}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen ${{e}^{i{\frac {1}{2}}\phi }}=-{{e}^{i{\frac {1}{2}}\left(\phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{{\frac {1}{2}}\phi }}$

Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!

${\begin{aligned}&{{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left(\phi +2\pi \right)}}\\&\Rightarrow m\in Z\\\end{aligned}}$

Leiteroperatoren:

${\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{\pm }}\left|l,m\right\rangle ={\frac {\hbar }{i}}\left({{\hat {x}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{\hat {x}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{\hat {x}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{\hat {x}}_{1}}{{\partial }_{3}}\right){{\Psi }_{lm}}({\bar {r}})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+i\cot \vartheta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )\\&\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+i\cot \vartheta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left(m\pm 1\right)\phi }}\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-m\cot \vartheta \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta )\\\end{aligned}}$

Für m=l ( Maximalwert) ist

${\begin{aligned}&{{\hat {L}}_{+}}\left|l,l\right\rangle =0\\&\Rightarrow \hbar {{e}^{i\left(l+1\right)\phi }}\left({\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0\\\end{aligned}}$

Lösung:

$\int _{}^{}{}{\frac {d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}}=l\int _{}^{}{}\cot \vartheta d\vartheta$

${{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left(-1\right)}^{l}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)!}{2}}}{\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)$

Mit dem Normierungsfaktor

${\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)!}{2}}}{\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}$

Erzeugung der anderen ${{f}_{lm}}(r,\vartheta )$

${{\Psi }_{l,l-1}}({\bar {r}})\propto \left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{-}}\left|ll\right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left(-{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{1-l}}{\frac {\partial }{\partial \cos \vartheta }}\left[{{\left(\sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]$

Normierung:

${{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

Mit den Kugelflächenfunktionen

${\begin{aligned}&{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )={\frac {{e}^{im\phi }}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {{\left(-1\right)}^{m}}{{{2}^{l}}l!}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)\left(l-m\right)!}{2\left(l+m\right)!}}}{\frac {1}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{m}}}{\frac {{d}^{l-m}}{d{{\left(\cos \vartheta \right)}^{l-m}}}}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{2l}}\\&{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )={\frac {{e}^{im\phi }}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {{\left(-1\right)}^{m}}{\sqrt {\frac {\left(2l+1\right)\left(l-m\right)!}{2\left(l+m\right)!}}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta )\\\end{aligned}}$

Wobei

${{P}_{l}}(x):={\frac {1}{{{2}^{l}}l!}}{\frac {{d}^{l}}{{\left(dx\right)}^{l}}}{{\left({{x}^{2}}-1\right)}^{l}}$

Legendre- Polynom l- ten Grades

${{P}_{l}}^{m}(x):={{\left(1-{{x}^{2}}\right)}^{\frac {m}{2}}}{\frac {{d}^{m}}{{\left(dx\right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)$

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

$\int \limits _{0}^{2\pi }{d\phi \int \limits _{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right]}^{*}}{{Y}_{l{\acute {\ }}}}^{m{\acute {\ }}}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll{\acute {\ }}}}{{\delta }_{mm{\acute {\ }}}}$

Dies bedeutet:

$\int \limits _{0}^{2\pi }{d\phi \int \limits _{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1$

oder in einer diskreten Basis:

$\sum \limits _{l,m}{}{{\left({{Y}_{l}}^{m}\right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1$

-> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

$F(\vartheta ,\phi )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{\sum \limits _{m=-l}^{l}{}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

${{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left(-1\right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{}}$

Die Inversion am Ursprung liefert: ( also: ${\bar {r}}\to -{{\bar {r}}^{}}$

), also $(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )$

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände ${{\left|l,m\right\rangle }^{}}$

haben die Parität ${{\left(-1\right)}^{l}}$

( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)

Eigenfunktion Knotenlinien von $\operatorname {Re} \left\{{{Y}_{l}}^{m}\right\}$ l m Bemerkungen/ Parität

${{Y}_{0}}^{0}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}$

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

${{Y}_{1}}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \vartheta$

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

1 1 $\pm 1$ ungerade ( ebenfalls p-Orb.)

${{\Psi }_{{P}_{x}}}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \vartheta \cos \phi$

${{\Psi }_{{P}_{y}}}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \vartheta \sin \phi$

${{Y}_{2}}^{0}={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta -1\right)$

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

${{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

2 2 $\pm 1$ gerade (d-Orbitale)

${{Y}_{2}}^{\pm 2}={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}$

2 2 $\pm 2$ gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

${{Y}_{0}}^{0}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}$

n=1  m=0, l=0

Eine Knotenlinie

${{Y}_{1}}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \vartheta$

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel ${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

NULL !)

${{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

n=2, l=1, m=$\pm 1$

Zwei Knotenlinien

${{Y}_{2}}^{0}={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta -1\right)$

n=3, l=2, m=0

${{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}$

n=3, l=2, m=$\pm 1$

${{Y}_{2}}^{\pm 2}={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}$

n=3, l=2, m=$\pm 2$