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| :<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math> | | :<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math> |
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| -> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !
| | → was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert ! |
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| Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen: | | Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen: |
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| :<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math> | | :<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math> |
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| n=1 m=0, l=0 | | n=1 à m=0, l=0 |
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| <u>'''Eine Knotenlinie'''</u> | | <u>'''Eine Knotenlinie'''</u> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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ergibt:
In Kugelkoordinaten:
Aber:
in Kugelkoordinaten !
Eigenwertgleichung für
.
Lösung
Eindeutigkeit:
Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen
die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen
Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!
Leiteroperatoren:
Für m=l ( Maximalwert) ist
Lösung:
Mit dem Normierungsfaktor
Erzeugung der anderen
Normierung:
Mit den Kugelflächenfunktionen
Wobei
Legendre- Polynom l- ten Grades
zugeordnetes Legendre- Polynom
Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase
Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
Dies bedeutet:
oder in einer diskreten Basis:
→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !
Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
Die Inversion am Ursprung liefert: ( also:
), also
Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände
haben die Parität
( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)
Eigenfunktion
Knotenlinien von
l
m
Bemerkungen/ Parität
0
0
0
gerade (s-Orbitale)
1
1
0
ungerade (p-Orbitale)
1
1
ungerade ( ebenfalls p-Orb.)
2
2
0
gerade (d-Orbitale)
2
2
gerade (d-Orbitale)
2
2
gerade (d-Orbitale)
Keine Knotenlinie
n=1 à m=0, l=0
Eine Knotenlinie
n=2, l=1, m=0
Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel
NULL !)
- n=2, l=1, m=
Zwei Knotenlinien
n=3, l=2, m=0
n=3, l=2, m=
n=3, l=2, m=