Prüfungsfragen:Statistische Physik

Warum betreibt man statistische Physik

• Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
• Mangel an Informationen → Mangel an Fragen

Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände $\Psi _{i}$)

BILD

$G_{\nu }$ als Funktion von $\lambda _{\nu },h_{\alpha }$ auffassen

Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand siehe auch

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information $I\left[p_{\alpha }\right]:=\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

• $I\left[p_{\alpha }\right]\leq 0$
• ${{p}_{\alpha }}=0\to I\left[{{p}_{\alpha }}\right]=0$ maximal bei scharfer Verteilung

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21

$\lambda =-(\Psi +1)$

Variation unter NB $\sum _{\alpha }p_{\alpha }=1$ ist eine Observable Annahme N_m andere Observable

D[x Log[x], x]=Log[x]+1

$0=\sum _{\alpha }\delta p_{\alpha }\left(\operatorname {ln} p_{\alpha }+1+\sum _{n=1}^{N_{M}}\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}\right)$

$p_{\alpha }=exp(\Psi -\lambda _{n}A_{\alpha }^{n})$

$\Psi =-1-\lambda _{0}$

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

• E hängt von V ab

--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion

--> größeres Volumen mehr zustände --> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links

Entropie

Über negative Shannon Info *k

$S:=-kI\left[p_{\alpha }\right]=-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Über Dichtematrix/operator

$S:=-k\left\langle \operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\operatorname {Tr} \left(\operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Minimum bei reinen Zuständen?

$S(\rho )\geq 0$

TD

$dS={\frac {dQ}{T}}$

Dichteoperator f kanonisches Ensemble

$\rho =\sum _{a}lphap_{\alpha }ketbra{\alpha }{\alpha }$

\alpha Eigenstate

$p_{\alpha }={\frac {1}{Z}}exp(-\beta \epsilon _{\alpha })$

Z Zustandssumme

Bose-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

Fermi-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$

T=0 Fermi Energie µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet

Boltzmann-Verteilung

$\langle n(E_{i})\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E_{i}-\mu )}}}$

Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

gilt bei hoher Energie und geringer dichte

photonen haben kein ch potential

Wärmekapazität

Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung $C_{X}=\left.{\frac {\delta Q}{\mathrm {d} T}}\right|_{X}$

?Elektronen

• T³

?Photonen

• schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³

?klassisch

• Tiefemperatur
• sättigung

Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme

Zustandssumme

kanonische Verteilung $Z=e^{\psi }=e^{1+\lambda _{0}}=\sum _{\alpha }e^{-\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}}$

${\begin{aligned}Z_{k}(N,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}.\\Z_{gk}(\mu ,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\sum _{E_{\psi }(N,V)\leq U}1\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U}\!\!\!{\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}\end{aligned}}$

Wie kann man Potentiale berechnen?

${\begin{aligned}S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B} }\,\log Z_{m}(N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{k}(N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{g}(\mu ,V,T)\end{aligned}}$

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

• kalorisch

leite P

• thermisch

leite Potential nach Volumen ab --> p

• chemisch

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren.

$D(E)=2\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\left({\frac {N(E)}{V}}\right)\qquad {\text{mit}}\qquad V=L_{\mathrm {x} }\cdot L_{\mathrm {y} }\cdot L_{\mathrm {z} }\quad .$

[2]

Enthalpie

$H:=U+pV:=U(S,V,N)-{\frac {\partial U}{\partial V}}_{S,N}V$

$dH=TdS+Vdp+\mu dN$

dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Freie Energie

Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme $F(T,V,N)-kT\operatorname {ln} Z_{k}$

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential

• partielle Ableitung?

Großkanonisches Potential

[3]

$\Omega :=\ F-\mu N=U-TS-\mu N$

   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas $\lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mhT}}},E=\pi hT$?

Temperatur

$T^{-1}={\frac {\partial S}{\partial E}}$

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

Dichtematrixgleichung

Gleichgewicht Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat anschaulich keine Übergänge finden statt

herleitung

Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule

Mittelwert

$\left\langle f\left(X\right)\right\rangle =\sum \limits _{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left({{x}_{n}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{dxp\left(x\right)f\left(x\right)}}$

mit delta verknüpft für das normalerweise gilt

${\underset {\varepsilon ->0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{\varepsilon }}p\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)=\delta \left(x\right)$

Ensemble Theorie

Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV →F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen

Plancksche Strahlungsformel

-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian spin der Photonen beachten (polarisationszustand) Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V

Potentialtopf

$\epsilon _{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}$

${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$mit

${{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Quantentheoretischer Zugang

Druck

$p={\frac {\partial F}{\partial V}}$

isoliertes System:

$p=-{\frac {\partial E}{\partial V}}$ Energie,Volumen

kanonisches Ensemble

Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest

$\mu ={\frac {1}{\beta }}\partial _{N}lnZ$

Energieeigenmwerte \epsilon_r

$Z=\sum _{r}exp(-\beta \epsilon _{r})$

mikrokanonisches Ensemble (Definition)

• Konstanz der Gesamtenergie

Übergang Stat M zu Thermodyn

1/T=dS/dE

statistischer Operator

• Entropiedefinition
• Interpreation

Großkanonischer Operator

Was kann man damit bereichen Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir