Prüfungsfragen:Statistische Physik

Warum betreibt man statistische Physik

• Beschreibung von Vielteilchensystemen --> viele Freiheitsgrade-->unmöglich Lösung anzugeben
• Mangel an Informationen --> Mangel an Fragen

Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände $\Psi _{i}$ )

BILD $G_{\nu }$ als Funktion von $\lambda _{\nu },h_{\alpha }$ auffassen

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information $I\left[p_{\alpha }\right]:=\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21 $\lambda =-(\Psi +1)$ Variation unter NB $\sum _{\alpha }p_{\alpha }=1$ ist eine Observable Annahme N_m andere Observable

D[x Log[x], x]=Log[x]+1

$0=\sum _{\alpha }\delta p_{\alpha }\left(\operatorname {ln} p_{\alpha }+1+\sum _{n=1}^{N_{M}}\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}\right)$

$p_{\alpha }=exp(\Psi -\lambda _{n}A_{\alpha }^{n})$

$\Psi =-1-\lambda _{0}$

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

Entropie

Über negative Shannon Info *k $S:=-kI\left[p_{\alpha }\right]=-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Über Dichtematrix/operator $S:=-k\left\langle \operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\operatorname {Tr} \left(\operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }$

Minimum bei reinen Zuständen? $S(\rho )\geq 0$

TD $dS={\frac {dQ}{T}}$

Dichteoperator f kanonisches Ensemble

$\rho =\sum _{a}lphap_{\alpha }ketbra{\alpha }{\alpha }$

\alpha Eigenstate

$p_{\alpha }={\frac {1}{Z}}exp(-\beta \epsilon _{\alpha })$

Z Zustandssumme

Bose-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

Fermi-Verteilung

$\left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}$,$\beta ={\frac {1}{kT}}$ T=0 Fermi Energie µ->E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet

Boltzmann-Verteilung

$\langle n(E_{i})\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E_{i}-\mu )}}}$ Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

Wärmekapazität

Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung

   C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X 

?Elektronen ?Photonen ?klassisch

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme

Zustandssumme

kanonische Verteilung $Z=e^{\psi }=e^{1+\lambda _{0}}=\sum _{a}lphae^{-\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}}$

${\begin{aligned}Z_{k}(N,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}.\\Z_{gk}(\mu ,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\sum _{E_{\psi }(N,V)\leq U}1\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U}\!\!\!{\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}\end{aligned}}$

Wie kann man Potentiale berechnen?

${\begin{aligned}S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B} }\,\log Z_{m}(N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{k}(N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{g}(\mu ,V,T)\end{aligned}}$

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren. $D(E)=2\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\left({\frac {N(E)}{V}}\right)\qquad {\text{mit}}\qquad V=L_{\mathrm {x} }\cdot L_{\mathrm {y} }\cdot L_{\mathrm {z} }\quad .$ [2]

Enthalpie

$H:=U+pV:=U(S,V,N)-{\frac {\partial U}{\partial V}}_{S,N}V$ $dH=TdS+Vdp+\mu dN$ dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Freie Energie

Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme $F(T,V,N)-kT\operatorname {ln} Z_{k}$

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential

• partielle Ableitung?

Großkanonisches Potential

[3]

$\Omega :=\ F-\mu N=U-TS-\mu N$

   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas $\lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mhT}}},E=\pi hT$?

Temperatur

$T^{-1}={\frac {\partial S}{\partial E}}$

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

Ensemble Theorie

Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV -->F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen

Plancksche Strahlungsformel

-herleitung

Potentialtopf

$\epsilon _{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}$

${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$mit

${{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Quantentheoretischer_Zugang

Druck

$p={\frac {\partial F}{\partial V}}$

kanonisches Ensemble

Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest $\mu ={\frac {1}{\beta }}\partial _{N}lnZ$ Energieeigenmwerte \epsilon_r

Z=\sum_r exp(-\beta \epsilon_r)