Quantentheoretischer Zugang: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot K Interpunktion, replaced: , → , (3) |
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<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|1}}</noinclude> | |||
==Einteilchenzustände im Kasten== | ==Einteilchenzustände im Kasten== | ||
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | ||
[[File: | [[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> | ||
<math>V=L^3</math> (Volumen)]] | :<math>V=L^3</math> (Volumen)]] | ||
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | ||
<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände | :<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände | ||
Einteilchenfunktion | Einteilchenfunktion | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> | :<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> mit <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math> | ||
mit | |||
<math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math> | |||
und Energieeigenwerten | und Energieeigenwerten | ||
<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math> | :<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math> | ||
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert | Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen) | :<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen) | ||
==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== | ==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== | ||
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen | in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander | :<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander | ||
'''Ansatz''': | '''Ansatz''': | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ | ||
& \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ | ||
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Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: | Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ | & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ | ||
& \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ | & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ | ||
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<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> | :<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> | ||
<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> | :<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> | ||
Summe über die k-Quantenzahlen werden also | Summe über die k-Quantenzahlen werden also | ||
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==Vielteilchenzustände== | ==Vielteilchenzustände== | ||
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? | |||
* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt | |||
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas | |||
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: | |||
:<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer | |||
:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n | |||
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) | |||
:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist | |||
'''Vorläuftig''' : | |||
:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math> | |||
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte | |||
<math>{{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}</math> | |||
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein <math>{{X}_{i}}=\left( {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{s}}}_{i}} \right)</math> | |||
Das geht für: <math>\Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right)</math> | |||
Beide Lösungen werden realisiert und als {{FB|symmetrisch}}(+) und {{FB|antisymmetrisch}}(-) bezeichnet: | |||
{{Def| | |||
; Fermionen (-) : antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin | |||
; Bosonen (-): symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940)) | |||
|Fermionen, Bosonen}} | |||
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten. | |||
(klassich: Grenzfall beider <math>T \to \infty</math>) | |||
{{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' | |||
:<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math> | |||
vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> | |||
Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' | |||
Daher (Anti)symmetriesierung durch | |||
:<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math> | |||
wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. | |||
}} | |||
((3 Teilchen als Übung)) | |||
'''Interpretation''': | |||
* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip | |||
* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation) | |||
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind. | |||
*allgemin Ansätzte für N-Teilchen | |||
:<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{Teilchenzahl} \\ | |||
\text{wg Normierung} | |||
\end{smallmatrix}}!}}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{\prod\limits_{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}}_{\begin{smallmatrix} | |||
& \text{wenn nur die Orbitale }{{\varphi }_{k}} \\ | |||
& k<N\text{ besetzt weil mehrer} \\ | |||
& \text{Teilchen in einem Orbital sitzen} \\ | |||
& \text{so steht }{{\text{N}}_{k}}\text{ f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r die Zahl der} \\ | |||
& \text{Teilchen in dem Orbital} \\ | |||
\end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> | |||
:<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math> | |||
recht komplizierte Schreibweise: | |||
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung. | |||
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen | |||
[[Bild:Fermi-Bose]] | |||
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: | |||
:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math> | |||
:<math>\left| N,n \right\rangle =?</math> | |||
ist gekennzeichnet durch | |||
# die Gesamtteilchenzahl '''N''' | |||
# wo man die Teilchen sitzen hat '''n''' | |||
:<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix} | |||
{{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ | |||
{{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ | |||
\end{matrix} \right\rangle =\left| \begin{matrix} | |||
{{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ | |||
\end{matrix} \right\rangle </math> | |||
:<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit | |||
:<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen | |||
* Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> | |||
* Bosonen <math>{{N}_{k}}=0,1,...,N</math> | |||
{{Beispiel| | |||
2 Bosonen <math>\left| 1,1 \right\rangle oder\left| 0,2 \right\rangle oder\left| 2,0 \right\rangle </math> | |||
2 Fermionen <math>\left| 1,1 \right\rangle </math> | |||
}} | |||
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen. | |||
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen: | |||
; {{FB|massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen | |||
; {{FB|masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern) | |||
man kann sich H anschauen: | |||
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen | |||
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen | |||
{{Def| | |||
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}} | |||
muss am Beispiel später klargemacht werden. | |||
; massive Bosonen : <math>\mu \neq 0</math> | |||
; masselose Bosonen: <math>\mu =0 </math> | |||
==Wechselwirkung von System und Umgebung== | |||
[[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung | |||
auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]] | |||
:<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{Wechsel-} \\ | |||
\text{wirkung} | |||
\end{smallmatrix}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }\left( t \right)}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{externe Felder die } \\ | |||
\text{auf das System wirken} | |||
\end{smallmatrix}}</math> | |||
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung | |||
im Allgemeinen: | |||
:<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig) | |||
Annahme | |||
; System : <math>{{H}_{S}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> | |||
; Bad : <math>{{H}_{B}}\left| b \right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left| b \right\rangle </math> | |||
Problem gelöst. | |||
System bespielsweise H-Atom | |||
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren | |||
ABBILDUNG | |||
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen" | |||
:<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab | |||
:<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math> | |||
Spannt den ganzen Raum auf | |||
:<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände | |||
wollen Systemgröße beobachten | |||
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf | |||
:<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf | |||
:<math>\left| n \right\rangle </math>'s: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \chi | {{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} | |||
n,n' \\ | |||
b,b' | |||
\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n' \right|\left\langle b' \right|{{O}_{S}}\underbrace{\left| b \right\rangle }_{{{\delta }_{b,b'}}}\left| n \right\rangle \\ | |||
& =\sum\limits_{n,n'}{\underbrace{\sum\limits_{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}}_{\begin{smallmatrix} | |||
{{\rho }_{n,n'}}-\text{Matrix} \\ | |||
\text{hier findet sich Umgebung } | |||
\\ | |||
\text{wieder} | |||
\end{smallmatrix}}}\left\langle n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle | |||
\end{align}</math> | |||
{{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}} | |||
→ führe {{FB|statistischen Operator}} ein | |||
Erwartungwert in System mit Umgebung: | |||
:<math>\left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left| \chi \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> mit <math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle n' \right|}</math> | |||
{{Def|<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\rho {{O}_{S}}\left| n \right\rangle }\equiv \text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)</math> ist die '''Mittelungsformel der statistischen Physik'''.|Mittelwert}} | |||
===statistischer Operator=== | |||
Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden? | |||
kann 2 Eigenschaften | |||
:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math> | |||
*hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden | |||
*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation) | |||
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften | |||
:<math>\text{Tr}\left( \rho \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad \mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\left( {{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha } \right)\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> | |||
es existiert die '''Diagonaldarstellung''' | |||
:<math>\rho ={{w}_{i}}\underbrace{\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}_{\text{Systemwellenfunktionen}}</math> | |||
Bemerkungen | |||
====Interpreatation==== | |||
Interpreation von \rho | |||
in Diagonaldarstellung | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\underbrace{\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\rho {{O}_{s}}\left| n \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix} | |||
n\text{ vollst}\text{. System im} \\ | |||
\text{Vielteilchenraum des } | |||
\\ | |||
\text{Systems} | |||
\end{smallmatrix}} \\ | |||
& =\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\underbrace{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}}_{\rho }{{O}_{s}}\left| n \right\rangle }=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|\underbrace{\sum\limits_{n}{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}}_{1}}{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \\ | |||
& =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\underbrace{\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{Erwartungswert einer} \\ | |||
\text{Gr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse}\text{, bei der sich das System } | |||
\\ | |||
\text{im Zustand }\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \text{ befindet} | |||
\end{smallmatrix}}} | |||
\end{align}</math> | |||
:<math>{{w}_{i}}</math> | |||
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand | |||
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> realisiert wird interpretiert. | |||
:<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle </math> klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik. | |||
:<math>\sum\limits_{i}{{}}</math> Mittelung über das besprochene Ensenble | |||
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> zum Meßergebnis bei. | |||
====Zeitabhängigkeit==== | |||
w<sub>i</sub>= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion | |||
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle (t)</math> vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S | |||
====Reine und gemischte Zustände==== | |||
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0 | |||
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus! | |||
:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math> | |||
|reiner Zustand}} | |||
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man | |||
{{Def|quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen <math>w_i \neq 0</math> | |||
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich | |||
:<math>{{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}</math> | |||
|gemischter Zustand}} | |||
====Eingenwertgleichung==== | |||
Lösung der Eigenwergleichung für \rho : | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \\ | |||
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r \right| \\ | |||
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r | |||
\end{align}</math> | |||
daraus folgt | |||
#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math> | |||
# <math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\ | |||
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\ | |||
& \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1 | |||
\end{align}</math> | |||
Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1. | |||
==Beispiel für gemischten Zustand== | |||
:<math>{{H}_{s}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>: einfach machen | |||
Photon: mit Polarisation | |||
:<math>\uparrow ,\to </math> = 2 Zustände <math>\left| n=1,2 \right\rangle </math> | |||
:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle =a\left( t \right)\left| \to \right\rangle +b\left( t \right)\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle </math> wird druch | |||
Zustände <math>\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1</math> sind alle Möglich. | |||
===reiner Zustand=== | |||
reiner zustand | |||
:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math> | |||
für festes a,b | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{\rho }_{\text{rein}}}=a\left| \to \right\rangle +b\left| \uparrow \right\rangle +{{\left( a\left| \to \right\rangle +b\left| \uparrow \right\rangle \right)}^{*}} \\ | |||
& ={{\left| a \right|}^{2}}\left| \to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left| \to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left| b \right|}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right| | |||
\end{align}</math> | |||
mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B | |||
:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände | |||
===gemischter Zustand=== | |||
:<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|},\ \quad \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left| \to \right\rangle ,\quad \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}=\frac{1}{2}</math> | |||
dann ist | |||
:<math>\rho =\frac{1}{2}\left( \left| \to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right| \right)</math> | |||
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten <math>\rho</math> unterscheiden? | |||
Läuft über Spur (Übungsaufgabe) | |||
((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein)) | |||
immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen | |||
==Aufgaben der statistischen Physik== | |||
3wichtige | |||
* dynamische Gelichungen für <math>\rho_{n,n'}(t)</math> um den statistischen Operator <math>\rho(t)</math> zu bestimmen <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho \left( t \right){{O}_{s}} \right)</math> bei externen Feldern | |||
* Anfangsbedinugungen <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> festlegen vor Einschalten externer Felder | |||
* Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> einzubauen (z.B. Temperatur) | |||
__SHOWFACTBOX__ |
Aktuelle Version vom 13. September 2010, 00:54 Uhr
Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr. |
Quantentheoretischer Zugang | Grundlagen der statistischen Beschreibung | |
---|---|---|
Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
- für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
- mit
und Energieeigenwerten
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
- (3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
- periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B
- sind dicht ~
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
- N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
- i: Teilchennummer
- mit Quantenzahln n
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
- wobei die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
Das geht für:
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch(+) und antisymmetrisch(-) bezeichnet:
|
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider )
Beispiel:2 Teilchen
vorläuftig Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch wobei der Normierungsfaktor ist. |
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation:
- In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
- In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
- allgemin Ansätzte für N-Teilchen
recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
ist gekennzeichnet durch
- die Gesamtteilchenzahl N
- wo man die Teilchen sitzen hat n
- als Quantenzahl mit
- Teilchen
- Fermionen
- Bosonen
2 Bosonen 2 Fermionen |
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
- massive Bosonen
- Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
- masselose Bosonen
- z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
man kann sich H anschauen:
- →massive Bosonen
- →masselose Bosonen
|
muss am Beispiel später klargemacht werden.
- massive Bosonen
- masselose Bosonen
Wechselwirkung von System und Umgebung
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung im Allgemeinen:
- (immer richtig)
Annahme
- System
- Bad
Problem gelöst. System bespielsweise H-Atom Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
ABBILDUNG
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
- hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
Spannt den ganzen Raum auf
- , abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
- , nur auf
- 's:
wird Dichtematrix genannt oder Matrix des statistischen Operators mit den Matrixelementen |
→ führe statistischen Operator ein
Erwartungwert in System mit Umgebung:
- mit
ist die Mittelungsformel der statistischen Physik. |
statistischer Operator
Frage: Was kann man über herausfinden?
kann 2 Eigenschaften
- hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
- denn ebenso Diagonalelemente (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
es existiert die Diagonaldarstellung
Bemerkungen
Interpreatation
Interpreation von \rho
in Diagonaldarstellung
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
- realisiert wird interpretiert.
- klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
- Mittelung über das besprochene Ensenble
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.
Zeitabhängigkeit
wi= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
- vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
Reine und gemischte Zustände
reiner Zustand ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt , alle anderen 's sind 0
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
|
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
|
Eingenwertgleichung
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
daraus folgt
- , somit
Eigenwerte von sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
Beispiel für gemischten Zustand
- : einfach machen
Photon: mit Polarisation
- = 2 Zustände
- wird druch
Zustände sind alle Möglich.
reiner Zustand
reiner zustand
für festes a,b
mit a,b beliebig z.B
- ... alles reine Zustände
gemischter Zustand
dann ist
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
((LÖSUNG :gemischt sonst rein))
immer noch nicht bekannt 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
Aufgaben der statistischen Physik
3wichtige
- dynamische Gelichungen für um den statistischen Operator zu bestimmen bei externen Feldern
- Anfangsbedinugungen festlegen vor Einschalten externer Felder
- Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in einzubauen (z.B. Temperatur)