& \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r \right| \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r \right|\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r
\end{align}</math>
daraus folgt
#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
# <math>\begin{align}
& \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r \right|\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
& \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1
\end{align}</math>
Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
==Beispiel für gemischten Zustand==
==Beispiel für gemischten Zustand==
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Version vom 30. August 2010, 10:25 Uhr
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
mit
und Energieeigenwerten
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
sind dicht ~
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
i: Teilchennummer
mit Quantenzahln n
-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
wobei die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider )
Beispiel:2 Teilchen
vorläuftig
Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie
Daher (Anti)symmetriesierung durch
wobei der Normierungsfaktor ist.
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation:
In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)
--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
allgemin Ansätzte für N-Teilchen
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
ist gekennzeichnet durch
die Gesamtteilchenzahl N
wo man die Teilchen sitzen hat n
als Quantenzahl mit
Teilchen
Fermionen
Bosonen
2 Bosonen
2 Fermionen
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
ist die Mittelungsformel der statistischen Physik.
statistischer Operator
Frage: Was kann man über herausfinden?
kann 2 Eigenschaften
hermitische Matrix --> kann diagonalisiert werden
denn ebenso Diagonalelemente (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
es existiert die Diagonaldarstellung
Bemerkungen
Interpreatation
Interpreation von \rho
in Diagonaldarstellung
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
realisiert wird interpretiert.
klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
Mittelung über das besprochene Ensenble
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.
Zeitabhängigkeit
wi= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
Reine und gemischte Zustände
reiner Zustand ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt , alle anderen 's sind 0
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
Eingenwertgleichung
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
daraus folgt
, somit
Eigenwerte von sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
Inhaltstyp„Inhaltstyp <span style="font-size:small;">(Content type)</span>“ ist ein softwareseitig fest definiertes Attribut, das den Typ einer Datei speichert. Es wird von Semantic MediaWiki zur Verfügung gestellt.